2,8. Вырожденные уровни

До сих пор мы рассматривали лишь простейший случай,

когда оба уровня 1 и 2 являются невырожденными. Разберем теперь кратко часто встречающуюся на практике ситуацию, когда уровни вырождены. Такой случай схематически изобра­жен на рис. 2.22, причем предполагается, что уровень 1 имеет кратность вырождения gu а уровень 2 — кратность вырождения g₂. Обозначим через Ni полную населенность всех подуровней вырожденного нижнего уровня, а через N₂ — то же, но относя-щсеся к верхнему уровню. Будем использовать N₂j и Ыц для обозначения населенности любого конкретного подуровня, отно­сящегося соответственно к верхнему и нижнему уровню.

В качестве простейшего можно рассмотреть случай, когда уровни находятся в термодинамическом равновесии. При этом населенность каждого подуровня обоих верхнего и нижнего уровней должна подчиняться обычному распределению Больц-мана. Таким образом,

_{N2/ = Nbexp [- (£2 - Ex)/kT].}

(2.1 54)

Однако, поскольку подуровни, например уровня 1, также нахо­дятся в термодинамическом равновесии, все их населенности

должны быть одинаковы, т. е.

]

(2.155а)

Аналогичноимеем

(2.1556)

Рис. 2.22. Двухуровне­вая система со степеня­ми вырождения каждо­го уровня

При этом из (2.154) и (2.155) получаем

Сравнивая (2.15б)с (1.8), мы видим, что

последнее выражение справедливо не только для невырожденных уровней, но и для вырожденных уровней с одним и тем же вырождением (т. е. £, = g₂).

^{Посмотрим теперь, как необходимо изменить выражения для}

сечения перехода, усиления и коэффициента поглощения в слу­чае вырожденных уровней. Для этой цели рассмотрим электро­магнитную волну, проходящую сквозь среду с данными насе­лен ностя ми обоих уровней, и поставим вопрос о том, как нужно изменить уравнения (2Л31а) и (2.1316). Очевидно, что уравне­ние (2Л31а) по-прежнему справедливо. Скорость изменения полной населенности N2 верхнего уровня теперь должна учи­тывать все возможные переходы между уровнями / и /. Таким

образом, мы имеем

✓ A AT ч ✓ КГ х

№)=- Е £ (^w"^N'i - ^V"^N»+-тг) • <²¹⁵⁷>

Однако если между подуровнями существует быстрая релак­сация, все верхние подуровни будут снова заселены одинаково и то же самое справедливо для нижних подуровней, Следова­тельно,

N₂f — N₂jg₂. (2.158а)

N_u = N_xlg_x. (2.1586)

Подставляя эти выражения в (2.157), получаем

N₂ = -W (NJg₂ - nm - Nrjx, (2.159)

^где

^=S E^/ = E fw_Hf (2.160)

_а

#2

(2Л61)

Изменение плотности потока фотонов dp при прохождении пучком в среде расстояния dz (см. рис. 1.2) с помощью урав­нения (2Д59) можно записать в виде

dp = W {N^§2 - Ni/gi) dz. (2.162)

При этом можно определить сечение вынужденного излучения 021 и сечение поглощения в\ ₂ следующим образом [ср. с (2.82)]:

*2i = IF/teA (2.163а)

<*i2 = Wf(_glF). (2.1636)

^{I Отсюда с очевидностью следует}

g&n^g&i* (2.164)

В случае когда {N\/g\) > (N2/^2) выражение (2.162) с по­мощью (2.1636) можно записать в виде хорошо известного со­отношения dF = —aFdz, если определить коэффициент погло­щения а как

а = а,2 (Af| — N₂g\/g2). (2.165)

Аналогично, в случае когда (N₂/g₂)> (#i/g"i)» с учетом (2Л63а) выражение (2.162) принимает хорошо известную фор­му: dF — gFdz, где коэффициент усиления g определяется еле-дующим образом;

*-a₈ito-tfiftfei)- (2Л66)

Теперь становится понятным, почему сечения 021 и 012 опреде­ляются выражениями соответственно (2Л63а) и (2.1636). Когда N\ >► N2 (что обычно имеет место при измерениях по­глощения на оптических переходах), выражение (2.165) при­нимает простой вид: а-о, *N_U И наоборот, когда N₂^Ni (как в случае четырехуровневого лазера), простой вид прини­мает выражение (2.166), а именно g = o₂iN₂.

Представляет интерес и другой случай, когда верхний (2) или нижний (1) уровень состоит из подуровней (самовырожде­ние), различающихся по энергии, но релаксация между этими подуровнями происходит мгновенно. В данном случае между каждым из подуровней 1 и 2 будет возникать термализация и вместо соотношений (2.158) можно написать

#2/ = z₂fN₂, (2.167а)

N_u=z_uN_x\ (2.1676)

здесь 22/(zu)— доля полной населенности уровня 2 (уровня 1), которую в соответствии со статистикой Больцмана имеет под­уровень /(0 (функцияраспределения по уровням). Если теперь предположить, что вынужденный переход происходит с данного подуровня (скажем, /) уровня 2 на определенный подуровень (скажем, т) уровня I, то с помощью соотношений (2.167а) и (2.1676) уравнение (2.157) можно переписать в виде

Входящие в это уравнение эффективные вероятности вынужден­ного излучения W21 и вынужденного поглощения W\2, а также скорость спонтанной релаксации 1/т даются соответственно выражениями

W_2l=z₂iW_tm, (2.169а)

W_l2 = z_lmW_ml, (2.1696)

Заметим, что в соответствии с (2Л69а) и (2.1696) эффектив­ное сечение вынужденного излучения cr₂1 и эффективное сече­ние поглощения 0i 2 можно определить следующим образом:

<% — ^z2i<*> (2.170а)

а₁₂ = г_1т<т; (2.1706)

здесь 0 = от = W_tm/F- действительное сечение данного пе­рехода.