2.4.3. Термодинамический подход Эйнштейна

В данном разделе мы проведем (по Эйнштейну) строгое вы­числение величины Л, которое не основывается на явном ис­пользовании квантовоэлектродинамических вычислений. В дей­ствительности этот расчет был предложен Эйнштейном задолго до развития теории квантовой электродинамики. Расчет выпол­няется с помощью изящного термодинамического доказатель­ства. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в полость черного тела, стенки которой поддерживаются при тем­пературе Т. Как только система достигнет термодинамического равновесия, в ней установится определяемое выражением (2.18) спектральное распределение плотности электромагнитного из­лучения p_Vf и, следовательно, среда будет находиться в поле этого излучения. Помимо спонтанного излучения в среде будут происходить процессы вынужденного излучения и поглощения. Поскольку система пребывает в состоянии термодинамического равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно

уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1. За­пишем следующие равенства:

*.t = *i«Pv (2Л02)

_{где В21 и В\2 — постоянные коэффициенты (так называемые}

коэффициенты Эйнштейна В). Если через N\ и Ni обозначить равновесные населенности уровней соответственно 1 и 2, то можно написать

^{AN\ + В}₂ ^,p_v ^B_l2^p_v^{N*. (2.103)}

(2.104)

^{Кроме того, согласно статистике Больцмана,}

NlfN i= ехр (- hvQJkT).

Тогда из выражений (2.103) и (2.104) следует, что

₌ А

Сравнивая это выражение с (2.18) при v = vo, приходим к еле-дующим соотношениям:

Я₁₂ = В₂₁ = В, (2 Л 06)

Соотношение (2.106) показывает, что вероятности поглощения и вынужденного излучения, связанные с излучением черного тела, равны друг другу Это соотношение аналогично тому, которое было установлено совершенно иным путем для случая моно­хроматического излучения [см. (2.38) ] .

Соотношение (2 107) позволяет вычислить коэффициент Л, если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле

излучения черного тела. Этот коэффициент нетрудно найти из

выражения (2.39), которое справедливо для монохроматиче­ского излучения/Плотность энергии излучения черного тела с частотой от v v + dv можно записать как p_vdv. Если пред­положить, что такое излучение заменяется монохроматической волной той же мощности, то соответствующая вероятность пе­рехода dW получается заменой в выражении (2.39) р HaPvdv. Интегрируя это выражение в предположении, что по сравнению с распределением плотности p_v (см. рис. 2.3) функцию gt (Av) можно аппроксимировать б-функцией Дирака, мы получаем

_{W =}

_{I И IIP}

2п^г

v«

^(2.108)

Зя*е₀А²

_п 2я'|и1* ^D~~ Зп»впА* •

^{Сопоставляя это выражение с (2.101) или имеем}

(2.109)

Отсюда и из выражения (2.107) окончательно находим

(2.110)

^{Следует заметить, что это выражение для коэффициента Л в}

точности совпадает с выражением, полученньш с помощью квантовой электродинамики. На самом деле проведенный рас­чет основан на термодинамике и формуле Планка (которая кор­ректна с точки зрения квантовой Электродинамики). Заметим также, что при записи соотношения (2.103) мы использовали уравнение (1.2), т. е. предположение о том, что спонтанное из­лучение точно подчиняется экспоненциальному закону. По­скольку это предположение немедленно приводит к выражению

(z.iUDi, т, е. к формуле Планка, можно утверждать, что термо­динамический подход Эйнштейна косвенно подтверждает экспо­ненциальный характер спонтанной релаксации.

Термодинамический подход Эйнштейна позволяет также ис­следовать другой важный аспект спонтанного излучения, а именно спектральный состав испускаемого излучения. Можно показать, что для любого перехода (т. е. при любом механизме уширения линии) спектральный состав спонтанного излучения будет тождествен спектру, наблюдаемому при поглощении, С этой целью предположим, что между рассматриваемой нами средой и стенками полости черного тела помещен идеальный фильтр, который пропускает излучение лишь в частотном интер­вале v -г- v + dv. В этом случае, если среда, фильтр и полость черного тела поддерживаются при одинаковой температуре т,

_{то отношение населенностей двух уровней будет по-прежнему}

даваться формулой (2.104). Плотность электромагнитного из­лучения в любой точке полости также будет соответствовать

(2.18), и результирующий поток энергии между средой и по­лостью с частотой в пределах полосы пропускания должен быть

равен нулю. Это означает, что энергия, испущенная средой в полосе ч'астот шириной dv вблизи частоты у" вследствие спон­танного и вынужденного излучений, должна равняться погло­щенной энергии. Чтобы выразить этот баланс энергий количе­ственно, определим спектральный коэффициент Л, таким обра­зом, что число атомов, которые в единицу времени при релакса­ции излучают фотон частотой в интервале v -f- v + dv_f равно N₂A_v dv. Очевидно,

A=^rA_ydv. (2.111)

Аналогично определим спектральный коэффициент 5_V таким образом, что величина NB_v(k dv равна числу переходов (актов поглощения или вынужденного излучения) в единицу времени,

индуцированных полем излучения черного тела с частотой в

интервале v — v + dv. Тогда условие равновесия между излу­чаемой и поглощаемой энергиями можно сразу записать в виде

^A_v^Ne₂ ^{dv + В}_ч^р_ч ^{N _ dv = B^N; dv. (2.112)}

Используя, как и в предыдущих вычислениях, соотношения (2.104) и (2.18), получаем

AJB_V=A/B. (2.118)

Коэффициент B_v нетрудно определить из выражения (2.39), если заметить, что B_vpv^v можно рассматривать как коэффи­циент вынужденного излучения для монохроматической волны. Тогда из формул (2.39) и (2.109) находим, что B_v может быть записана как

Bv = Bg_t(&v), (2.114)

и из (2.113) следует, что

4_v = ^(Av). (2.115)

Последняя формула показывает, что спектр спонтанно излучен­ной волны снова описывается функцией £*(Av); иными слова­ми, это та же самая функция, что и в случае поглощения или вынужденного излучения. При этом из (2.115) мы получаем но­вую интерпретацию функции g*(Av): gt(Av)dv есть вероятность

того, что частота спонтанно излученного фотона лежит в интер­вале v -г v + dv ¹К