Теория активной синхронизации мод для однородно уширенной линии

вперед и наза/по 'резонатору лазера. Согл/сно 'томуДто ^Руже брилось в

nSoS^bo ^S^^^T^^S^ КГимТльс воспроизводил сам себя после каждого полного прохода'резонатора. Мы ограничимся здесь тем, что обсудим случай однородно уширенной линии, поскольку при этом задача допускает простое и элегантное решение Ш-

Активная

среда

₁

Потери резонатора

• |*| Модулятор

_{№г№ ~4"}

Зеркало 1

Зеркало Z

Рис. В.1. Экспериментальное устройство, рассматриваемое при теоретическом

анализе активной синхронизации мод.

Рассмотрим лазер в конфигурации, представленной на рис. B.l_f и будем счи­тать, что электрическое шле светового импульса E,(t) перед входом в усилитель можно описать обобщенной гауссовой функцией, т.е^ [см. также (5.118)]

Е_х (0 = £₀ехр I- а/² + / Ш + р/²)], (ВЛ)

где о)о — несущая частота, а а и р описывают временную зависимость соот­ветственно амплитуды и фазы поля. Точнее говоря; ширина (на половине максимума) интенсивности импульса равна

х_р —1(2 In 2)/а]^,/2

(В.2)

в то время как частота импульса (линейно возрастающая со временем) рав­на о)о + р/. Предположим также, что ширина импульса т_р много меньше 21/с, где / — длина активной среды, так что при распространении через активную среду импульс не перекрывается со своим собственным отражением от зер­кала 1. Заметим, что выражение (ВЛ) можно записать в более удобном виде:

^{£, (О » £}₀ ^{ехр (— Г/2) ехр torf, (B.3)}

где мы ввели величину

Г = и - /р

(В .4}

называемую комплексным параметром гауссова импульса. В дальнейшем анализе мы будем считать, что при распространении через активную среду и модулятор импульс сохраняет обобщенную гауссову форму (В.З). По­этому нам придется делать некоторые упрощающие предположения, гаранти­рующие выполнение этого условия.

Сделав предварительные замечания, перейдем теперь к рассмотрению ЛМ-сипхронизации мод. Пусть £Г(со)—усиление по амплитуде (т.е. по эле к-трическому полю) за один проход в активной среде в условиях насыщения. Предполагая, что время релаксации верхнего уровня много больше времени полного прохода резонатора, можно показать [2], что

g (©) = [ехр - i (ш!/с)]ехр {(g₀/2)/[1 + 21 (ю - Фо)/&(й$] }, (В.5)

где I — длина активной среды, go — насыщенное усиление по мощности за одни проход на центральной частоте перехода со о, а Дм₀ - ширина (на поло­вине максимума) лазерной линии. Заметим, что, согласно выражению (В.5), усиление по мощности 0(a)) равно

G (со) = \* =ехр (8), (В.6)

где усиление g определяется выражением

g = ft/{l + [2 (ю — со₀)/Лсо₀]²}, (В.7)

т. е. имеет лоренцсву форму, как и ожидалось для однородно уширенной линии. Поскольку временная зависимость электрического поля импульса £i (/) является гауссовой функцией, ее фурье-образ является также гауссо­вой функцией и имеет вид

Е_х (ш) = (Е₀/2) (1/яГ)^1/2 ехр [- (а — Щ)²/*Т]. (В.8)

После прохождения через активную среду фурье-образ станет равным E,(co)g(ct)). Чтобы эта функция оставалась гауссовой, мы потребуем, чтобы g(m) "имела гауссову форму. Для этого разложим выражение, стоящее в качестве аргумента второй экспоненты в (В.5), в ряд по степеням (со- Шо) «\Это дает

g (ю) = ехр (— / {((Ol/c) + Ifo (© - G)₀)/AcOo] }) X

X ехр (go/2) {1 - [2 (со - сОо)/Дю₀]*}. (В.9)

Мнимые члены в первой экспоненте соответствуют фазовому члену Ф = = Ф(о>), который определяет временную задержку, испытываемую импуль­сом после прохождения через активную среду (благодаря конечной группо­вой скорости импульса; см. разд. 8.5), в следующем виде:

^xd ⁼ " = + (^о/^Л<эо)' (В.10)

что эта задержка не равна так как линия дополнительный вклад в показатель преломления среды. Этот вклад необхо­димо учитывать при выполнении условия, чтобы время полного прохода импульса было равно периоду модуляции потерь. Для простоты мы в даль­нейшем пе будем рассматривать эффект этой задержки. Поэтому пренебре­жем фазовым членом в выражении (В.9) и запишем

g (о>) = ехр (.fo/2) {! - [2 (со - <D₀)/A(Do]*}. (ВЛ 1)

Мы также не будем учитывать тот факт, что отражающая способность зер­кала 1 имеет конечное значение, так как это обстоятельство будет учтено

^и Точнее. !К» степеням Ы о),.) / Wi,. Прим иг рев.

в общих потерях резонатора. Пройдя второй раз через активную среду, импульс еще раз усилится в g(m) раз, причем определяется выраже- нием (В.11). Тогда электрическое поле £₂(со) пбслс полного прохода ла- зерной среды запишется в виде

Е₂ (<*) = Ei (со) \g (ш)]² = [(£₀/2Н1МГ)^1/2ехр (f₀)] ехр [- (а - со₀)²/4Г'],

(В.12)

где, согласно (В.8) и (В.11), Г' таково, что

1/Г'-1/Г+1б£₀/До£ (В.13)

Соответствующее электрическое поле во временном представлении £2(0 можно найти путем преобразования Фурье выражения (В.12). Отсюда полу­чаем выражение

Е₂ (t) = £₀ (Г'/П^1Л? ехр (g₀!) ехр (- Г'/² + /со₀/), (В.14)

которое глювь является гауссовой функцией.

Необходимо заметить, что приближенные выражения (В.9) и (В.11) справедливы в том случае, если спектральная ширина светового импульса много меньше ширины с\щ л и н и и усиления. Следовательно, последующий анализ справедлив лишь при выполнении неравенства

tp А©о > 1

(ВЛ5)

Г« Г- 1б(£₀/Дш²) Г².

В этом же приближении изменение ширины импульса после его прохождения через активную среду очень мало. Поэтому T^v ж Г и выражение (В. 13) можно приближенно записать в виде

(ВЛ6)

В том же самом приближении выражение (В. 14) можно записать следую­щим образом:

£₂ (о = £₀ ехр (go) ехр (— Г*²+ ta>₀0, (В. 17)

Заметим, что из (В.16) следует Re (Г) < Re (Г), где Re обозначает веще­ственную часть. Теперь из выражений (В.2) и (В.4) видно, что после про­хождения через усилитель импульс уширяется.

Рассмотрим теперь прохождение импульса через модулятор. Будем счи­тать, что модулятор располагается на минимально возможном расстоянии от зеркала 2 и что его длина много меньше длины импульса ст_Р. Пренебре­гая конечной отражающей способностью зеркала 2, рассмотрим эффект, ко­торый производит двойное прохождение импульса через модулятор. Обозна­чая потери за двойной проход через модулятор как у_т (/), мы можем за­писать

Ym =6(1 — cos m_mt) — 26 sin² (ю_тг/2), (ВЛ8)

где 25 — максимальные потери в модуляторе, а о),>. — частота модуляции, которая предполагается такой, чтобы период модуляции равнялся времени полного прохода световым импульсом лазерного резонатора. При небольших потерях пропускание модулятора Г„ можно записать в виде

7*т= 1 -Ут& ехр(~Ут)= ехр [—26sin² (oW/2)]-

(ВЛ9)

В разд. 5.4.5Л было показано, что импульс проходит через модулятор тогда, когда потери равны нулю (т.е. при / = 0). Поскольку мы считаем, что ширина импульса много меньше также и времени полного прохода резонатора (т.е. %_pm_m4H I), то (В.19) можно приближенно записать в виде

Г_т« exp(~toi4*²/2). (B.20)

т.е. в виде гауссовой функции. После прохождения через модулятор им­пульс £,<*) дается выражением

£₃(0 = ^2 (О T_m(t). (В.21)

Тогда из выражений (В.21), (В.20) и (ВЛ7) находим

^{£з (0 = Eq exp (go) exp [— Г"/2 + /<а}₀^{/]; (В.22)}

здесь

_{Г'' = Г + 6ooi/2. ЧВ.23)}

"»»

Заметим, что, поскольку Re (Г") > Re(F'). импульс при проходе через мо­дулятор сужается.

Чтобы учесть постоянные потери в резонаторе, связанные с конечными отражающими способностями зеркал и с внутренними потерями, запишем импульс Ei(t) после одного полного прохода в виде

(0 = [ехр (- у)] £з (*), (В.24)

где y — логарифмические потери мощности за один проход, определяемые выражением (5 8). Теперь наложим условие самосогласованности £₄(0 = = Et(t). Из выражений (В.24), (В.22) и (В.З) сразу получаем

go - Yt Г" - Г. (В.25а, б)

Из второго условия с помощью (В.23) и (В.16) находим

(16го/Д^)Г² = й«>У2. (В.26)

Отсюда мы видим, что уширение импульса в усилителе должно уравновеши­ваться сужением импульса в модуляторе. Выражение (В.26) показывает

также, что Г в этом случае является вещественной величиной, так что в

соответствии с (В.4) имеем

р. = - Im (Г) ~ 0, (В.27а)

а= Re (Г) « (6/2gy^/2(cD_;nAoo₀/4). (В.276)

Выражения (В.25а) и (В.27) вместе дают полное решение рассматриваемой задачи. Заметим, что соотношение (В.25а) означает, в приближении Г « Г, равенство порога генерации в режиме синхронизации мод насыщенному уси- лению в непрерывном режиме go, которое равно потерям в резонаторе. За- метим также" что в соответствии с (В.27а) импульс не имеет частотного сдвига. Выражение (В,276) вместе с (В.2) определяет импуль-

са. Полагая v_m = ш_т/2п и Av₀ = Дш₀/2я, находим:

Тр^²^¹"²)' (^)^/4( _v Av₀ )^V ' (В.28)

Мы видим, что первый множитель в правой части этого выражения приблизи­тельно равен 0,45. Второй множитель вследствие показателя степени 1/4 приблнзительно равен единице. Тогда из (В.28) мы получаем

х_р « 0_f45/(v_m Av₀)^{1 /2}, (B.29)

т.е. соотношение (5.122).

Случай ЧМ-синхронизации мод рассматривается аналогично. Предполо­жим снова, что электрическое поле импульса и усиление по амплитуде опре­деляются соответственно выражениями (В.З) и (ВЛ 1). Модулятор же вно­сит теперь переменный фазовый сдвиг Д0. В случае синусоидальной моду­ляции можно написать, что

Д<£ = 6 cos (со^г). (В.ЗО)

В этом случае самосогласованное решение получается» только если импульс проходит через модулятор в тот момент времени, когда фазовый сдвиг ДФ достигает либо максимума, либо минимума (т.е. когда он стационарен). Поэтому будем считать* что импульс проходит через модулятор в момент времени t = 0. Тогда пропускание модулятора можно записать в следующем виде:

Т_т « ехр (* Ы>) да С ехр I— Л (gW)*/2], (В.31)

где С = ехр 16. Поскольку Т_т имеет вид гауссовой функции, импульс после прохождения через модулятор будет опять определяться выражением (В.22). в котором теперь

Г" = Г + i 5© 2. (В.32)

Используя (В.24) с тем же условием £4(0—£i(0» А^ля данного случая находим

а « р (6/2g₀)^⁴ (ffl_m До)₀/4), (В.ЗЗа)

go = y. (В.ЗЗб)

Сравнение (В.ЗЗа) с (В.276) показывает, что при одинаковых значениях 6/2go, т. е. при одних и тех же значениях 6 и [согласно (В.ЗЗб)] одинако­вых потерях в резонаторе у. величина ct_t а следовательно, и ширина им­пульса являются одними " и теми же для случаев AM- и ' ЧМ-синхрониза-ции мод. Однако в последнем случае, поскольку величина р не равна нулю, частота импульса имеет линейный сдвиг.