Пространственно-зависимые скоростные уравнения

Здесь мы зададимся целью развить теорию скоростных уравнений с учетом того, что как скорость накачки, так и поле в резонаторе зависят от про- странственной переменной. Благодаря наличию этих пространственных зави- симостей следует ожидать, что инверсия наееленностей будет также зависеть от координат. Таким образом, для четырехуровневого ла-

зера можно написать следующие уравнения:

dN₂/dt = W_p (Nt - N₂) -WN₂ - N₂/x, (Б. 1 a)

dq/dt = ^Г WN₂dV - q/x_c, (БЛ6)

^a

где интегрирование во втором уравнении производится по всему объему ак- тивной среды, а смысл каждого обозначения приведен в гл. 5 Уравнение (Б. 1а) выражает локальный баланс между процессами накачки вынужден- ного и спонтанного излучения. Заметим, что в левоД части этого уравнения частная производная стоит вследствие того, что, как предполагается, вели- чина N, зависит от пространственных координат. Интеграл в правой части уравнения (Б. 16) берется по объему активной среды и учитывает вклад вынужденных процессов в полное число ц фотонов в резонаторе. Этот ин- теграл был записан исходя простого баланса с учетом

факта, что каждый отдельный вынужденный процесс приводит к появлению фотона. Из выражения (2.82), поскольку F= l/hvn / = ср, можно полу­чить вероятность W вынужденного излучения как функцию сечения перехода

а и плотности энергии р поля в резонаторе. Таким образом, можно записать

следующее соотношение:

W = (co/Av) р. (Б.2)

где с = с₀In — скорость света в активной среде. Следует заметить, что р зависит как от радиус-вектора г, так и от времени t, т.е. р = р(г, 0, при­чем пространственное изменение этой величины определяется пространствен­ным распределением моды резонатора. Если теперь положить N₂ « N, где tf- инверсия населенностей, и считать, что N₂ < Nt, то уравнения (Б.1) с учетом соотношения (Б.2) примут вид

dN/dt= W_pNi- (со) (p/Av) N - N/x_t (Б.За)

dq/dt~* (cor) [ (p/Av)N dV- qfx_c. (Б.36)

^а

Таким мы записали скоростные уравнения для

лазера, которые применяются в том случае, когда необходимо учесть зави­симость от пространственных координат. Заметим, что, поскольку W, и р зависят от координат, величина N также должна зависеть от этих коорди­нат и, следовательно, в уравнении (Б.Зб) ее нельзя вынести за знак ин­теграла. Следует также заметить, что N зависела бы от координат даже в том случае, если скорость накачки W_n была бы постоянной. Зависимость величины N от координат, как уже обсуждалось нами в связи с рис. 5.8, объясняется тем, что в активном материале поле стоячей волны приводит к пространственному выжиганию дырок.

Займемся теперь решением уравнений (Б.З) в случае, когда лазер ге­нерирует на одной моде. Пространственное распределение поля этой моды описывается амплитудой поля V = 1/(г), которую мы будем считать нор­мированной на ее максимальное значение, Рассмотрим резонатор длиной L, в котором находится активная среда, имеющая длину / и показатель пре­ломления п. Плотности энергии мод р снаружи и внутри активной среды можно записать соответственно в виде

(Б.4а, б)

где коэффициент p_m = p_m{t) учитывает (в нестационарном случае) времен­ную зависимость плотности эиергии. Таким образом, можно написать следую­щее выражение:

С \ С] С; /

где интеграл в первом правой части берется по всему объему

резонатора, а два интеграла в скобках вычисляются — первый по всему объему активной среды, а второй по остальному объему резонатора. Вид вы­ражения в скобках в (Б.5) наводит на мысль, что мы можем определить эффективный объем моды резонатора следующим образом:

V=n ^ U*dV+ ^ U²dV.

(Б.6)

С помощью выражений (Б.46), (Б.5) и (Б.6) уравнения (Б.З)

писать в более удобном виде:

dNjdt = W_pMt - (с ₀o/V)qU²N - ЛГ/т, dq/dt = (c₀o/V) ^ NU* dV - д/т_с.

можно пере-

(Б.7а) (Б.76)

Один из способов решения уравнений (Б.7) состоит в том, чтобы опреде­лить набор (N_ky средних значений величины N следующим образом:

^NU*dV

а

_1\

U*dV.

(Б.8а)

NU*dV \ U*dV.

_/5

a fa

(Б.86)

a

(Б.8в)

где интегрирование производится по объему активной среды. Мы можем теперь определить эффективный объем моды в активной среде У_а как

у_а = [ U*dV. (Б.9)

^a

Из выражений (Б.76), (Б.8а) и (Б.9) находим

q = [(CqoVJV) (.V,) - \/х_с] q. (Б.10)

Умножая обе части уравнения (Б.7а) на U*_t U\ ... и интегрируя по объему активной среды, с учётом выражений (Б.8) и (Б.9) получаем

(N^^iWp^Nt - (wtV)q(N$ —<ЛГ|>/х, (БЛ1а)

ф₂) = (W_p2) N_t - (Coo/V- <Л/₂>/т, (Б.116)

где мы ввели следующие ооозпачепия:

^{W_pl^{) = С W}_p^{U*dV j \ U2dV,}

_{a 1 a}

(Б.1.2а)

{W_p2)= J W_pU⁴dV j ^ U²dV. (Б.126)

a 'a

Рассматривая уравнения (Б.1 I), можно заметить, что уравнение для <Лч> содержит <Л^₂>, уравнение для <ЛГ₂> содержит <#₃> и т. д. Следовательно, мы имеем бесконечную непочку уравнений относительно переменных <Л^Г*>. Для решения этой системы уравнений необходимо каким-либо образом обо­рвать эту цепочку, что и будет продемонстрировано на следующих при­мерах.

В качестве первого примера рассмотрим симметричный резонатор, со­стоящий из двух сферических зеркал с радиусом кривизны, много большим длины резонатора L, В этом случае размер пятна w моды является прибли­зительно постоянным вдоль резонатора и его можно принять равным раз­меру пятна ш«1 в центре резонатора. Следовательно, для моды ТЕМоо имеем [(см. также (5.3)]

U= [ехр - (г/w_Q)²] sin (kz + +), (Б. 13)

где /г = со/с, а ф — постоянная фаза, причем она выбирается таким образом, чтобы У было равно нулю на зеркалах (например, —(k£/2) 0). Сле-

дует заметить, что поле в резонаторе, описываемое выражением (Б. 13), из­меняется в пространстве как в продольном направлении (г-координата), так и в поперечном направлении (г-координата). В нашем случае объемы У и У а в соответствии с (Б.6) и (Б.9) даются следующими выражениями:

V= {\}\)"nw\U_% F_a= (1/4) m^/, (Б.14а, б)

где U = L + (п— 1)/ —эффективная длина резонатора [см. выражение (5.11)]. Для моды, определяемой выражением (Б.13), цепочку уравнений можно оборвать из /и-м члене, заметив, что

[ (NU^2m) U^z dV ^Г 'NU™ dV

₍^N_{m + i)=}^J_{—F— = (ВЛ5)}

\ U² dV \ U² dV

J

Приближение (Б.151 выт^аег из того факта, чти при больших т функцию _aL _=Cxpl-2mr^)[sin(^+ можно приближенно представить в

виде ряда^г ненормирбванных б-фл шкций Дирака, сосредоточенных в точках (г = 0, г = гЛ, где zi — точки, в которых функции sin²'ⁿ(kz + ф) имеют максимумы. В действительности в этих точках иЦО, z,) == 1, и поэтому указанную величину можно вынести из-под знак.: интеграла. Таким образом, в уравнении (Б. 11а) можно в первом приближении положить <Л<₂> <* т>, и из (Б. 10) и (Б.Па) имеем:

{N^^iWpx) Nt - (CbG/V)q{N_{У (Ni)fx, q=[(c₀oVJV)iNi)-lfr_c} q.

(Б.16а) (Б.166)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (5.18), мы видим, что они совпа­дают, если заменить <Л'i> на Л', объем V моды резонатора записать в виде (D.6), объем моды V_a внутри активной среды записать в виде (Б.9), а ве­личину <Г_Р1> заменить на V Таким образом, полученное здесь приближе­ние позволяет более точно определил , величины, входящие в уравнения

(5.IS).

В качестве второго примера рассмотрим случай полупроводникового ла­зера на двойном гетеропереходе (рис 6.45), в котором протяженность поля моды в поперечном направлении существенно больше поперечного размера самой активной области (рис. G.44). В соответствии с нашим обсуждением в разд. 6.6.5 скоростные уравнения для данного случая можно получить из (Б.7), если 1) /V рассматривается как концентрация электронов и дырок;

2. член W_PN, отвечающий за накачку, заменяется скоростью Д_р, с которой эти носители заряда инжектируются в единичный объем активной среды;

3. член oN заменяется на (т(Л'-Г), где Л" - минимальная концентрация носителей, которую необходимо инжектировать в полупроводник для полу­чения усиления; 4) время жизни т заменяется на время

жизни при электрон-дырочной рекомбинации. Будем считать» что торцы полу­проводника являются зеркалами резонатора. В этом случае эффективный объем данной моды более уместно определить следующим образом:

_V

_-S

U² dV\

(Б. 17)

здесь интегрирование производится по распределению поля в резона-

торе лазера Сравнение (Б.6) с (Б. 17) показывает, что объем V в уравне­ниях (Б.7) необходимо теперь заменить на nV. При этом уравнения (Б.7) принимают вид

dN/dt= R_p - (co/V)qU² (.¥ - Л'') - N/x_r,

[Tf f 1

a J

(Б.18а) (Б.186)

где с = со/п. Теперь мы определим средние значения концентраций носи­телей <Лл>, <Л'₂> и т.д. так же, как и в (Б.8), а эффективный объем моды в активной среде У_п — как в (Б.9). Из уран пения (Б.186) получаем

4=*UcoV_alV')(N_x)-\fT_£]q.

(Б. 19)

Заметим, что Va меньше Г' [ср. (Б.9) с (Б. 17)1, поскольку ш>отяженпост11 поля резонатора поперечном на правлении больше, чем поперечный размер активного слоя. Из уравнения (Б.18а) получаем

_{(N2) <- (Лр2) - (ca/m д ((ЛГ3) - (JV3)) - (}^N_i)/^r_{r (}^Б_-²_<>^в_>

• • • »

где <Л_Р|>, </?р2> и т.д. определяются аналогично <№_pi>, (№_г2) и т. д. в (Б.12), в то время как (#2)» (#з) ^{и т}- Д- определяются аналогично <iV₂>, <iVa> и т.д в (Б.8). Цепочку уравнений (Б.20) можно снова оборвать на т-ы уравнении с помощью (Б, 15). Соответственно в первом приближении

в уравнении (Б.20а) мы запишем <N₂> « <ЛЧ> и аналогично (Л^)*^!) =

_{«=» \ N}^f_U²_{dV I \ U}²_{dV. Если теперь предположить, что RP и Л}^г/ _{постоян-}

^Jflt / ^Ja / * /Л /

ны в активном слое, то (#»,)= а (iV,) = N . Из уравнений (Б.19) и

(Б.20а) получаем окончательный результат;

N = R_p+ (co/V')q (N — ЛГ)- #/т_г, (Б.216)

? = Kco^a/^)^ - 1/т_с)9, (Б.216)

где в качестве сокращенной записи мы положили N = <#»>.

Наконец, последний пример — это случай, когда лазер генерирует много мод. В данном случае мы все еще можем пользоваться уравнениями (Б.З) при условии, что р является постоянной величиной, а q равно полному числу фотонов в резонаторе. Это равносильно тому, как если бы мы предположили, что величина ^является постоянной. Если положить в нашем случае U² = I, то из выражения (Б.86) получаем <#₂> = <#|> и уравнения (Б.16) снова оказываются справедливыми при условии, что

Vc= AL\ V_a -Ai_% (Б.22, 23)

(W_p)=^W_pdVfVal (Б.24)

здесь Л — площадь поперечного сечения области, занимаемой лазерным пуч­ком в активной среде.

I

-V'

_{ПРИЛОЖЕНИЕ В}