Литература

1. a) Blocmbergen N.₉ Nonlinear Optics, Benjamin, New York, 1965. [Имеет- ся перевод: Бломберген Я. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.]

Ь) Лхманов С. А., Хохлов Р. В, Проблемы нелинейной оптики. — М.: Наука, 1964.

2. Yariv A., Optical Electronics, 3rd edn., Holt, Rinehart and Winston, New

York, 1985, ch. 9, 12. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введение в оптическую электропику. — М.: Высшая школа, 1983.1

3. Svelte О.-In: Progress in Optics (ed. E. Wolf), North-Holland, Amster­dam, 1974, v. XII, pp. 3—50.

4. Born M.. WoljE.. Principles of Optics, 6th edn., Pergamon Press, Oxford, 1980, ch, X, [Имеется перевод 4-го издания: Берн Ж, Вольф Э. Основы оптики. — М: Наука, 1970.]

5. Lax Л1, Louiselt'W. И., М с Knight W. В., Phvs. Rev., All, 1365 (1975).

6. Kriukov P. G., Letokhov V. S. — In: Laser Handbook (eds. F. T. Areechi, E. O. Schultz-Dubois), North-Holland, Amsterdam, 1972, v. 1, pp. 561—595,

7. Koechner IF., Solid State Laser Engineering, Springer-Verlag, New York, 1976, ch. 4 (Springer-Series in Optical Sciences, vol. I).

8. Judci 0. - In: High-Power Gas Lasers (ed. E. R. Pike), The Institute of Phvsies, Bristol and London, ]976, p. 45-57.

9. Yariv A._y Optical Electronics, 3rd edn.. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1985, ch. 8. [Имеется перевод 2-го издания: Ярив А. Введение в оптическую электронику. М.: Высшая школа, 1983.]

10. Akhmanov S. A., Kovrigin А. Sukhorukov А. Р. — In: Quantum Electro­nics (eds. H. Rabin, С. L. Tang), Academic Press, New York, 1975. v. 1, part B, pp. 476—583.

11. Byerft. L. — In: Quantum Electronics (eds. H. Rabin, C. L. Tang). Acade­mic Press, New York, 1975, v. 1, part B, pp. 588- 694.

12. Fran ken P. A., Hill А. /Г., Peters C. U'Weinreicli 0. Phys. Rev. Lett., 7, 118 (1961).

13. Giordmaine 7. .4., Miller R. C, Phys. Rev. Lett., 14, 973 (1965).

14. Giordmaine 7, /1, Phys. Rev. Lett., 8, 1.9 (1962).

15. Maker P. D. el ai, Phys. Rev. Lett., 8, 21 (1962).

16. Zernike P., Midwinter J. F.._t Applied Nonlinear Optics, Wilev, New York* 1973, sec. 3.7. [Имеется перевод: Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Приклад­ная нелинейная оптика.-М.: Мир. 1976.)

17. Grischkowskij Z)., Balani А. С, Appl. Phys. Lett., 41, I (1982).

18. Treaty E. IEEE J. Quantum Electron., QE-5, 454 (1969).

Приложения

_{ПРИЛОЖЕНИЕ А}

Полуклассическая теория взаимодействия излучения с веществом

В последующих расчетах для описания взаимодействия излучения с веще­ством мы будем использовать полуклассическую теорию. В этой теории атомная система предполагается квантованной (и, следовательно, описывае­мой законами квантовой механики), а электромагнитное поле падающей вол­ны рассматривается классически (т.е. с помощью уравнений Максвелла).

Сначала займемся изучением явления поглощения. С этой целью рассмо­трим обычную двухуровневую схему и предположим, что в момент времени / = О атом находится в основном состоянии 1 и что с ним взаимодействует монохроматическая электромагнитная волна на частоте со. С классической точки зрения атом в результате взаимодействия с электромагнитной волной приобретает дополнительную энергию И\ Например, это может произойти при взаимодействии электрического дипольного момента атома \*е с электри­ческим полем Е электромагнитной полны (Я' = Цл-Е). В данном случае бу­дем говорить об электрическом дшюдытом взаимодействии. Однако это не единственный вид взаимодействия, благодаря которому может произойти переход. Например, переход может осуществиться вследствие взаимодей­ствия магнитного дипольного момента атома ц,>_: с магнитным полем В элек­тромагнитной волны (ib«-Bs магнитное дипольное взаимодействие). Чтобы описать эволюцию этой' двухуровневой системы во времени, необходимо об­ратиться к квантовой механике. Иными словами, если классическое рассмо­трение приводит к энергии взаимодействия И\ то квантовомеханический подход вводит гамильтониан взаимодействия Ж. Вид этого гамильтониа­на можно пайти из классического выражения для энергии //' с помощью хорошо известных правил квантовой механики. Однако в данном случае точный вид выражения для гамильтониана Ж нас не интересует. Следует лишь заметить, что гамильтониан 2/6' является синусоидальной функцией времени, частота to которой равна частоте падающей волны. Таким образом,

^ИМСО! Ж' = Ж* sin со/. (АЛ)

Тогда полный гамильтониан Ш можно записать в виде

_{ж» •; ж,}

/д 9\

■V — !

где Ж-—гамильтониан атома в отсутствие электромагнитном волны. Если для моментов времени г > 0 полный гамильтониан Ж известен, то зависи­мость волновой функции \\ атома от времени можно найти из нестационар­ного уравнения Шредипгера

Х$ = /А сШд/.

(А.З)

Для того чтобы решить это уравнение относительно функции t(t). вве­дем в рассмотрение, согласие! (2.23), певозмущетшые собственные функции уровней I и 2 соответственно, а именно функции % = «iexp[—O'Ei////)] и

= «₂ехр[— tiE₂t/h)]. Таким образом, функции! и и₂ удовлетворяют ста­Ционарному уравнению Шрёдингера

Ж₀и. = Е.и_£ (/==1, 2). (А.4)

С учетом влияния электромагнитной волны волновую функцию атома можно записать в виде

ф = МО ф! + а₂ (/) (А.5)

где а_г и а% — зависящие от времени комплексные числа, которые подчи­няются следующему соотношению:

1а,|^а + |а₈|» = 1. <А.б)

Поэтому для вычисления вероятности перехода W_i2 мы должны вычислить величину |а₂(01² (или |ai(/)|²). В общем случае вместо (А.5) следует писать

т т

^ - Е ^ak^k⁼⁼⁼ Е ^ak^uk ^ехр [—¹ ч> (а.7)

где А обозначает состояние атома, а т - число состояний. Подставляя это выражение в уравнение Шрёдингера (А.З), получаем

^{2 (*}₀ ^{+ ехр [- £ *] =}

_к

= X ехр [- i(E_k/hJ] +a_ku_kE_kехр [- i(E_kJh) t] }. (A.8)

Это уравнение с помощью (А,4) приводится к виду

£ 1М_ки_к ехр [- / (EJh) /] - £ a^'u, ехр [- i (E_k/h) t). (А.9) ft

Умножая обе части последнего уравнения на произвольную собственную функцию и_п и интегрируя по объему, получаем

^{= a}_k ^{ехр [— i(E}_k^{Jfiy] u}_n^{3№'u^dV}_t ^(АЛО)

г

Поскольку волновые функции* ортогональны помощью

_{">Ч<^ (АЛ 1)}

уравнение (АЛО) можно привести к виду

^й_«⁼_{ж Z} ^я_«*^а_*^ехр _[~^{1 (Е}_{" и}^{Еп) 1} _{] •} ^(АЛ2)

_ь.=\

Таким образом, мы имеем m дифференциальных уравнений для m перемен­ных a* It), и эти уравнения можно решить, если только известны начальные условия, Для двухуровневой системы (т = 2) уравнение (А. 12) приводит

к двум уравнениям:

^а₂ ^{= (l/ift) {/4^ ехр -/ (J?! - Е}₂^{) t/h] + Н'%р}₂ ^},

(А.13)

которые должны решаться с начальными условиями а%(0) =1 и аг(0) = 0.

До сих пор мы не делали никаких приближений. Чтобы упростить про­цедуру решения уравнений (А.13), будем использовать метод возмущений. Предположим, что в правой части уравнений (АЛЗ) можно приближенно записать «,(/) « 1 и * 0. Решая уравнения АЛЗ) с учетом такого предположения, находим решения для о,(?) и a₂(i) в приближении первого порядка. По этой причине развиваемая далее теория называется теорией возмущений первого порядка. Решения ai(t) и а₂(0, полученные таким об­разом можно теперь подставить в правую часть уравнений, чтобы найти решение в приближении второго порядка" и т.д. Соответственно это назы­вается теорией возмущений второго порядка и т.д. Следовательно, в первом порядке уравнения (АЛЗ) дают

*,_в(1//Л)Яп, (А. 14а)

(А.146)

тле щ = Е± — E\)/h —частота атомного перехода. Чтобы вычислить ве­роятность перехода! достаточно решить лишь уравнение (А.146). С этой целью воспользуемся выражениями (АЛ) и (А.П) и запишем

#21 » sn«f — Яа! 1«Ч> 1^Ш) ~ (- «®01/2£, (А.15)

где

и является, вообще говоря, комплексной постоянной. Подставляя (А.15) в (А.146) и интегрируя с учетом начального условия flz(O) = 0, получаем

_И*⁰ _Г

^а₂^{(0=-^ I}

^{#21 Г ехр [i (©0 — ©) t]}

1

ехр [i (©₀ + ©) t ]

©о + ©

1

(А.17)

Полагая © « ©о» мы видим, что первый член в квадратных скобках много больше второго, В этом случае можно написать

а% (t) ж —

2<

#2? ехр (~/Д©0 - 1

_{Н Д©}

(АЛ8)

_{. #2? I}² _{Г sin (Д©//2) 12}

J

где А© = си — too- Таким образом,

- Ki 1

(АЛ 9)

Функция # = [sin(Aco//2)/A(i)]^z построена на рнс. АЛ в зависимости от Лео. Видно, что при увеличении времени соответствующая кривая становится бо­

лее узкой и более высокой. Кроме того, поскольку, как можно показать,

_И-

^{+ 0}° sin _чСДсо//2) Т2 _1к

— ОО

_(А.20)

для достаточно больших значении / можно положить

[sin (Лсо//2)/Лю]* « (я*/2) 6 (Дсо).

где через 6 обозначена б-функция Лирака. Отсюда получаем

а₂ (/) |'»(|//2i|²/*²) (д/2)«(Аа>).

(A.2I)

(A.22)

Это выражение доказывает, что для достаточно больших интервалов вре­мени вероятность \о₂(() \ ^г обнаружить атом в момент времени t на уровне 2

пропорциональна самому времени. Следовательно, вероятность перехода W\2 дается выражением

_{=-1 ч <*> |7* - (я/2) (I «2117**)}⁶

(А.23)

Чтобы вычислить Wn в явном виде, необходимо найти величину |#2i |²* До

сих пор мы предполагали, что за переход ответственно взаимодействие между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим ди-польным моментом атома (электродипольное взаимодействие). Если г — радиус-вектор совершающего переход электрона по отношению к ядру, а е-заряд электрона (взятый со знаком), то классический дипольный момент атома будет равен = ег. Тогда классическая энергия взаимодействия #' дается выражением #' = Е = eE(r, t) г, где Е — электрическое поле па­дающей электромагнитной волны в точке, где находится электрон. Теперь, пользуясь известными правилами квантовой механики, нетрудно записать гамильтониан взаимодействия:

_I

"ш

t

г.

(А.24)

Подставляя это выражение в (А.И) при п = 2 и ft = 1, получаем

Н'_2] = е ^ и₂Е • ru_l dV. (А.25)

Предположим далее, что длина электромагнитной волны много больше раз­меров атома. Это условие очень хорошо выполняется для излучения в види­мом диапазоне (для зеленого света л = 500 а, в то время как размеры атома порядка 1 А). С учетом такого предположения в выражении (А.25) величину Е можно вынести из-под интеграла и использовать ее значение в точке г = 0, т.е. в центре ядра (электродипольное приближение). Таким образом, определим величину

Е (0, 0 = Ео sin (Of. Тогда из выражений (А.15), (А.25) и (А.26) получаем

(А.26)

(а.27)

где

^2

_2l =е \ u^¥₂ru_[ dV.

(а.28)

Эта величина называется матричным элементом электрического дипольного момента. Если через 9 обозначить угол между векторами |*2i и Е₀, то

/л \>"»

«** I

v I

in

(А.29)

здесь ||A2t|—модуль комплексного вектора |i2i. Предположим, что электро­магнитная волна взаимодействует с несколькими атомами, векторы ц₂₁ ко­торых ориентированы произвольным образом относительно вектора ЕО; тогда

среднее значение величины Г получается усреднением выражения

(а.29) по всем возможным значениям углов 8 и ф (в двух измерениях). Если все углы 9 одинаково вероятны, то плотность вероятности р(0) пе зависит от б, В данном случае р(8) определяется таким образом, что p(Q) dQ есть элементарная вероятность для вектора ц₂1 оказаться внутри телесного угла dQ, составляющего с направлением вектора Ео угол 8. Из­вестно, что если любой из углов 0 равновероятен, то <cos² 8> = 1/3. Сле­довательно,

Теперь подстановка этого выражения в (А.23) дает

^W_l2^{^ (я/6)(2я)2£| |^}_2l ^{f б(ш - ®}₀^)/tf.

(А.31)

Если вместо в этом использовать

то оно преобразуется к (2.27).

Получив выражение для вероятности поглощения, перейдем теперь к расчету вероятности вынужденного излучения. Мы снова обратимся к урав­нениям (АЛЗ), используя теперь другие начальные условия: ai(0) = 0 и а₂(0) = 1. Однако сразу можно заметить, что в данном случае необходимые соотношения получаются из соответствующих формул (А13) —(А 31), выве­денных для случая поглощения, простой перестановкой индексов 1 и 2. По­скольку из определения (а.28) видно, что Iu121 = Im^iL из выражения (А.31) следует, что Г₁₂ = W_Zi, а это означает равенство вероятностей по­глощения и вынужденного излучения.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б