8.5. Временное преобразование; сжатие импульса

В этом разделе мы рассмотрим кратко явление сжатия им­пульса. Это явление — один из примеров многих типов времен­ного преобразования, которому может быть подвергнут лазер­ный пучок до его применения на практике. Однако, прежде чем

приступить к такому преобразованию, имеет смысл сделать ко­роткое отступление» чтобы напомнить такие вая скорость, групповая скорость и дисперсия групповой скоро-

сии светового импульса.

(8.98)

Р ассмотрим среду, характеризующуюся конкретным диспер­сионным уравнением, т. е. данным соотношением между волно­вым числом к и частотой © (рис. 8.11). Это означает, что элек­трическое поле плоской линейно-поляризованной и монохрома­тической электромагнитной вол­ны с частотой ш будет распро­страняться вдоль оси г в соот­ветствии с выражением £ ~ ~ ехр [/(cof — kz)]_f где k = &(о>) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фа­за волны равна

^{ф = <й/ — kz}_y

скорость данного фазового фрон­та будет такова, что элементар­ные изменения dt и временной

и пространственной координат

_ш

должны удовлетворять условию dj> = io dt—k dz=0. Отсюда сле­дует, что фазовый фронт движет­ся со скоростью

v^ = dzjdt = tufk_y (8.99)

которая называется фазовой ско­ростью волны. Рассмотрим теперь световой импульс, распростра­няющийся в среде, и пусть со₀ и Дсо₀—центральная частота и шн-рина соответствующего спектра

^{для импульса с}

роким спектром.

(рис. 8.11, а). Предположим, что дисперсионное уравнение в пре­делах ширины линии До) может быть линеаризовано. Другими словами, запишем его следующим образом: к = k₀ -^{dk/dio)^^ X

Х(о)—шо), где &о — волновое чис­ло, соответствующее частоте соо. В этом случае, выполняя преоб­разование Фурье электрического поля волны:

<Л_?+Д<Л;,/2

^{Е (/, z)= ^ А}_ы ^{ехр [/ (со/ — kz))d(u}

(8.100)

и подставляя приведенное выше линейное соотношение для k в зависимости от со — ©о, получаем

ДШэ/2

^{E(t, z) — ехр [i (©</ — koZ)] ^ exp j i Д© \t — z \ i rfAco,}

-Д<йо/2 — ~

(8,10.1)

где Aft) = со — too. Заметим, что после интегрирования получается функция переменной t— (dk/d&)z. Таким образом, выражение (8.101) можно представить в виде

Е (t, _z)^A[t- (zfvgftxp [i (©^ - ftp*)], (8.102)

где Л — амплитуда волны или волнового пакета, ехр[*(©о£—

— k_Qz)] — несущая волна, a v_g дается выражением

v_g = (d<*/dk)_kmku. (8.103)

Тот факт, что амплитуда волны является функцией переменной t—z/Vg, означает, что волновой пакет распространяется со ско­ростью Vg без изменения формы. Эта скорость называется груп­повой скоростью импульса, а ее величина в соответствии с (8Л03) определяется наклоном кривой зависимости ©(ft) в точке © s= ©₀. Обратившись к выражению (8.102), заметим, что несу­щая волна импульса распространяется со скоростью и=щ/ко₉ т. е. с фазовой скоростью непрерывной волны на частоте ©=©₀. Заметим также, что в общем случае дисперсионного уравнения, представленного на рис. 8.11, а, фазовая скорость несущей вол­ны отличается, вообще говоря, от групповой скорости. Посмо­трим теперь, что происходит, когда в среде распространяются два импульса, имеющих ширины спектральных линий соответ­ственно A(0i и Д©2 с центрами при ©i и ©₂ (рис. 8.11, б). Если наклоны дисперсионной кривой на этих двух частотах имеют разные значения, то оба волновых пакета распространяются с различными групповыми скоростями v_gl и 0_g2. Таким образом, если максимумы обоих импульсов входят в среду одновременно, то после прохождения ими в среде расстояния L они стано­вятся разделенными во времени на величину задержки

Дт<* = -jp = L [(-Ц-) — {ж)]' (8.104)

Если допустить, что дисперсионное уравнение в диапазоне ча­стот ©1—©₂ можно аппроксимировать параболой, то справедли­вым будет выражение (dk/d(d)2— (dk/d(o)\ + (cPft/rf©²)! (©2 —

— ©1) и, таким образом, величину Дт<* можно записать в виде

_{Дт„ = L (dtk/daPMab - «О. (8.105)}

Рассмотрим теперь случай, когда световой импульс имеет столь большую ширину линии Дш₀, что линейный закон не будет более хорошо аппроксимировать дисперсионное уравнение (рис. 8.11,в). В этом случае различные спектральные области импульса рас­пространяются с различными групповыми скоростями и, следо­вательно, форма импульса меняется во время распространения. Выбрав две соседние элементарные спектральные области им­пульса вблизи частоты <а, разделенные элементарным частотным интервалом d®, определим изменение временной задержки dxd*