8.4.2.1. Параметрическая генерация

Рассмотрим теперь три волны с частотами ©_ь 6)2 и ©з (при­чем ©з = ©1 + а>₂), взаимодействующие в кристалле. Общее поле E(z, t) этих волн можно записать в виде следующей суммы:

E(z, t) — E*^h(z₉ t) +£^(,)2(;г, /) + Ё¹* (2, 0, (8.68)

где каждое из полей определяется выражением (8.66а). Под­ставляя (8.68) в соотношение (8.41) и используя (8,66а), полу­чаем выражение для компонент Р"^елн" (z) [аналогичное выраже­нию (8.666)] нелинейной поляризации на различных частотах ©/. Выполнив утомительные, но несложные алгебраические преоб­

разования, находим, что, например, компонента р?^ел|Ш _{на ча}. стоте coi дастся выражением

^риелин _{= d}^{^ ^} _£^{* ф} _{ехр [t} ^{^} _{+ k2}^{_ fa) (}_{8 69)}

Компоненты нелинейной поляризации па частотах ш₂ и ш₃ вы­числяются аналогичным образом. Подставляя в уравнение (8.67) компоненты величины Р^нелин, соответствующие трем ча­стотам, получаем следующие три уравнения:

1 т~\

_{££!_.. ——• . 1 Et i ■} ^?_-⁵_{- f}^l _{LrfL £!п"го Г—(k!z —/L — fe'rii}

^{riz \ 2п}_{^{в^~) i- v rti^o / 3 z F L \ з 2 D г}

(8.70a)

^{■# = -(l^)^-4-&)^3^exp[-/(^-^-^)e],}

(8.706)

<1Еъ ( Oi

dz

(8.70в)

Это основные уравнения, описывающие нелинейное параметри­ческое взаимодействие. Заметим, что они связаны между собой посредством нелинейного коэффициента d.

На данном этапе удобно определить новую полевую перемен­ную Af.

A_t = (n,lia,)^mE_t. (8.71)

Поскольку интенсивность волны равна // = n,&oCo ЕА²/2, соот­ветствующий поток фотонов F, можно записать в виде FI = —(г₀с_а/2П)\АА². Таким образом, величина \А,\² про­порциональна потоку фотонов на частоте причем коэффи­циент пропорциональности не зависит от щ и ох/. В этих новых полевых переменных уравнения (8.70) принимают вид

dAx	_ Mt
dz	2
dA2
dz	2
dAs
dz	г

— iXA₃Aloxp[— Г ; (8.72a) -аЛ₃Л; exp[— * (Ate)], (8.726)

— iXA\ Aj ехр [i (Mz)], (8.72b) где мы положили ay = Of/fifac₀, Afe = &₃ — &₂ — &_{ и

Преимущество использования Л/ вместо Ef очевидно, поскольку в противоположность уравнениям (8.70) в уравнения (8,72) вхо­дит единственный параметр связи я!

Пренебрегая потерями (т. е. полагая ш=0), умножая обе части уравнения (8.72а) на А], а обе части уравнения (8.726)

на Л* и сравнивая полученные выражения, приходим к следую­щему соотношению; d\А\\²/dz= d\A₂\²/dz. Выполняя анало­гичные преобразования уравнений (8.726) и (8.72в), получаем d A₂\ydz=~d\A₃\*/dz. Следовательно, можно написать сле­дующие равенства:

dz ~ dz ~ dz ' ^[ ' ^v

которые называются соотношениями Мэнли — Роу. Поскольку величина |Л|² пропорциональна соответствующему потоку фо­тонов, из этих соотношений следует, что всякий раз, когда уни­чтожается фотон с частотой со₃, образуются фотоны с частотами

и Это согласуется с фотонной моделью параметрического процесса, обсуждавшейся в разд. 8.4.1.2. Следует заметить, что из соотношений (8.74) вытекает, например, следующее равен- ство: dP\/dz= — (dPz/dz), где Р\ и Рз — мощности со- ответствующих волн. Таким образом, в излучение с частотой о>, может быть преобразована лишь часть щ/шъ мощности излуче- ния с частотой (Оз.

Строго говоря, уравнения (8.72) справедливы в случае «бе­гущей» волны, когда в кристалле произвольной длины распро­страняются три волны с частотами и_ь «2, ю₃. Покажем теперь, каким образом эти уравнения можно применить к случаю опти­ческого параметрического генератора, схематически показанного на рис. 8.8. Рассмотрим сначала этот генератор, работающий по схеме двойного резонатора. В этой схеме внутри резонатора в прямом и обратном направлениях распространяются две вол­ны с частотами и Параметрический процесс имеет место здесь только тогда, когда направления распространения этих волн и волны накачки совпадают (поскольку лишь при данных

обстоятельствах удовлетворяется условие фазового синхрониз­ма). Если «развернуть» оптический путь волны в резонаторе

так, как показано на рис. 8.9, а, то из рисунка очевидно, что

волны испытывают потери на любом участке пути, в то время

как параметрическое усиление имеет место лишь на одном из

двух отрезков пути. Эту ситуацию можно эквивалентно предста­вить в виде схемы, приведенной на рис. 8.9, б, если соответст­вующим образом определить коэффициент эффективных потерь

а/ (/=1, 2). Потери, определяемые на рис. 8.9, б длиной кри­

сталла /, на самом деле должны быть равны потерям при двой­ном проходе резонатора, как показано на рис. 8.9, а. Послед­ние представляют реальные потери в кристалле, а также потери, обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах. Следова­тельно, входящие в уравнения (8.72) коэффициенты а\ и аг дол­жны быть определены таким образом, чтобы они учитывали эти различные потери. Из (8.72), пренебрегая параметрическим вза­имодействием (т. е. полагая Я = 0), мы видим, что после

^{прохождения пути равного}

Потери зернам /

^{длине кристалла, мощность излучения на частоте ю/ (/== = 1,2) уменьшается до доли ехр(—ail) мощности излуче­ния на входе в кристалл.}

_t

¹ потери t усиление ^ ¹

Рис 8.9 a — «развертка» оптического пути в резонаторе оптического пара-

^!Ч2 ние^Тотического^Г путТпри двойномТр^-"

ходе в резонаторе, показанного иа рис. а, к одному проходу, причем поте­ри на зеркалах включены в распределе-

потерь в кристалле.

При этом мы должны учи­тывать потери, которые ис­пытывает излучение при

ДВОЙНОМ ПрОХОДе реЗОНатО­ра. Таким образом, мы

имеем следующее выра­жение:

^{ехр t—Щ1)—K\,K}_V ^\i—1)

(8.74а)

где /?н И Ra — коэффициен­ты отражения соответствую­щих зеркал, а Т—потери

в кристалле (с учетом дифракционных потерь) за один проход излучения с частотой % через резонатор. Определим теперь следующие величины [ср. с (5.7)]: уц = —In 72/ =—In i?₂/»

Y — —In (I ■— Т) и Y/= [(Yi/ +¥2/)/^] +¥/* При этом выражение (8.74a) принимает вид

1-

(8.75)

^{где у/ — общие потери в резонаторе за один проход. Заметим,}

^{что это равносильно замене потерь, обусловленных отражением}

от зеркал, потерями, распределенными по кристаллу, и после­дующему включению их в эффективный коэффициент поглоще­ния а/ (/— 1, 2) кристалла. Величина же аз учитывает лишь потери внутри кристалла, которыми, вообще говоря, можно пре­небречь. Таким образом, на этом этапе мы можем утверждать, что в случае двухрезонаторной параметрической генерации уравнения (8.72) все еще справедливы при условии, что а\ и а>

_i

ы

"i

6-й

I

i

определяются выражением (8.75). Чтобы получить пороговое условие параметрической генерации в двухрезоиаторной схеме, приведем уравнения (8.72) к более простому виду. Для этого предположим, что можно пренебречь «истощением» волны на­качки за счет параметрического процесса. Используя это предпо­ложение, а также предположение о том, что аз = 0, мы можем положить Л₃{z)~Л₃(0),где Л₃(0) — амплитуда падающей волны накачки, которая считается вещественной. Если предположить затем, что Ak =0 (идеальный фазовый синхронизм), то уравне­ния (8.72) принимают существенно более простой вид:

"ч

^{где I}

^{g = 2ХА}₃ ^{(0) = 2d (Ш. (8.77) |}

_i

Теперь нетрудно получить пороговое условие параметрической | генерации при двойном резонансе. Для этого в уравнениях ? (8.76) положим dA[/dz= dA2/dz = 0, В результате получим следующую систему однородных уравнений:

^{«Л + igAL— 0, igA] - cl4: = 0, (8.78а, б)}

где в последнем уравнении левая часть является комплексно-сопряженной относительно правой части уравнения (8.766). При решении этой однородной системы уравнений ненулевые значе­ния А\ и А2 имеют место лишь при условии, что

g2 _{= ща2} ^ 4у_ху2/1². (8.79)

4

_f

Последнее выражение мы записали с помощью соотношения (8.75). Из (8.77) мы видим, что g пропорциональна величине

£з(0), т. е. интенсивности волны накачки. Таким образом, ус- ловие (8.79) означает, что для возбуждения параметрической ге- нерации необходима определенная пороговая интенсивность вол- | ны накачки. Эта интенсивность пропорциональна произведению | потерь (по мощности) у_х и 72 Двух волн с частотами a>i и ю₂ за | один проход в резонаторе и обратно пропорциональна величи- | нам d² и /². j

Случай однорезонаторной параметрической генерации яв- ? ляется несколько более сложным. Если лазерный резонатор на­строен лишь на частоту ©_ь то c&i можно опять представить в виде (8.75). Поскольку волна на частоте со₂ не отражается об­ратно в резонатор, а₂ будет включать в себя только потери в кристалле, и, следовательно, эту величину можно не учитывать. Пренебрегая «истощением» волны накачки и предполагая, что

_i

j

фазовый синхронизм является идеальным, уравнения (8.76) мо­жно применить по-прежнему, но при условии» что аг = 0. В слу­чае когда параметрическое преобразование невелико, в правой части уравнения (8.766) можно положить Л* (z) « Л* (0). Таким

образом, имеем следующее выражение:

А₂(г) = - igA\ (0) 2/2, (8.80)

при получении которого мы предположили, что Лг(0) =0 (т.е. из

резонатора в кристалл волна на частоте обратно не посту­пает). Если в (8.76а) подставить выражение (8.80) и в правой части уравнения (8.76а) положить A\(z) ж А\(0), то мы полу­чим

(8.81)

Интегрирование этого уравнения дает следующее выражение для амплитуды волны на частоте а>ь после того как она пройдет длину / кристалла:

А_х (0 = А_{ (0) (1 — а,//2 + ёЧЩ. (8.82)

Пороговое условие достигается тогда, когда i4i(/) = Л[(0), т. е.

когда

g²^4a,// = 8vi//²- (8.83)

Поскольку величина g пропорциональна интенсивности / вол­ны накачки, сравнение выражений (8.83) и (8.79) дает отноше­ние пороговых значений интенсивности накачки:

/ОРГ//ДРГ = 2/ys

(8.84)

(здесь индексы ОРГ — однорезонансная генерация, ДРГ — двух-резонансная генерация). Если выбрать потери за проход рав­ными, скажем, 72=2%, то из (8.84) находим, что пороговая мощность для однорезонансной генерации должна быть в 100 раз больше, чем для двухрезона йеной.

8.4.2.2. Генерация второй гармоники В случае ГВГ мы имеем: Е (2, /) = (1/2) {Е_ф ехр [* (ш* - k#)\

Р"^елт (г, t) = (1/2) {Р™^лт ехр [/(ю/ - k^z)] +

^с.},

(8.85)

_{+ Рй}^лнн _{ехр [i(2(dt — k2<M + к. с.}. (8.86)}

^{Подстановка (8.85) и (8.86) в (Ml) дает}

«г е₀ dElwp\ i (2кщ—£_2й>) ^, /8.87а)

рнелин _л- jn ^ ехр \ Л (&₂ 2fe )г/ ^ 876)

Затем, подставляя выражение (8.87) в (8.67) и пренебрегая по­терями в кристалле (т. е. полагая о, = 0), получаем

^в ~' 157 ^ехР<' <⁸-^88а>

^⁼-¹ -zik^dE^ ^{ехр (}-' ^Ш)> <⁸-^88б>

здесь Ak = &_2(й Уравнения (8.88) являются основными для

описания генерации второй гармоники. Чтобы их решить, удоб­но определить новые полевые переменные Е^ и Е'_ш следующим

^{образом:}

= (л^ Р_ф7 = {п₂^² Е_ж (8.89а, б)

Отсюда мы видим, что, поскольку интенсивность /<» волны с ча­стотой со пропорциональна произведению /г_т|£_ш|², интенсивность | Е'_т р также пропорциональна величине но теперь коэффи­циент пропорциональности не зависит от показателя преломле­ния. Подстановка выражений (8,89) в (8.88) приводит к сле­дующим уравнениям:

dE' i е'?

dz Z_Br е'_ы(0)

где £^(0) — значение Е'_ф в точке 2—0, а /_вг—характерная

длина взаимодействия второй гармоники, определяемая выра­жением

^/вг- 2пёВ_Л(0) ' ^(ЬМ1)

где Xn — длина волны, а Е_ф(0) — амплитуда поля основной вол­ны на частоте Заметим снова, что преимущество использо­вания новых полевых переменных Е'_т и Е'_ы с очевидностью

следует из выражений (8.90), так как они содержат один един­ственный параметр связи /вг. Кроме того, подчеркнем, что вели­чины Е_ф (0), а следовательно, и Е'_/л (0) являются веществен-