8*4,2. Аналитическое рассмотрение

Чтобы подойти вплотную к аналитическому описанию как ГВГ, так и параметрических процессов, необходимо показать, каким образом можно ввести в волновое уравнение нелинейный член поляризации [например, в виде (8.41)], вызывающий ге­нерацию волн. Поля в среде удовлетворяют уравнениям Макс­велла:

VXE = -

dt

_V

дВ

dt

XH_=J+

^{V-D = p, V-B = 0,}

где р — плотность свободного заряда. Для среды, щей интерес в нашем случае, можно считать, что ность М равна нулю. Таким образом, мы имеем

В = ц₀Н + = ИоН.

(8.60a, б) (8.60в, г)

представляю-намагничен-

_(8.61)

Потери в среде (например, вследствие рассеяния) могут быть учтены введением воображаемой проводимости о* таким обра­зом, чтобы выполнялось соотношение

J = а₅Е. (8.62)

Окончательно можно записать следующее выражение:

D = 8qE + Р^лин + Р^нелин = еЕ + Р

нелин

₁

(8.63)

НА. Преобразование частоты

505

I

). (8.64)

где Р^лин — линейная поляризация среды, которую обычно учи­тывают введением диэлектрической проницаемости е. Покажем теперь, что если в уравнение Максвелла подставить величину D, определяемую соотношением (8.63), то в волновом уравнении появляется нелинейный член поляризации Р^нелин. Применим к обеим частям уравнения (8.60а) оператор V и заменим в пра­вой части этого уравнения порядок следования операторов V и d/dt. Используя при этом выражения (8.606) и (8.61)— (8.63), сначала получаем

⁸

_{dE , д}²_{Е . а}²_Р^пелнн

df

dt

_vxvxe

Учитывая здесь тождество тх^хе ⁼ ^ (v-е) — v²e и предпо­лагая, что v-e яЮ, уравнение (8.64) можно переписать в виде

_{os дЕ 1 д*Е 1 а}²_Р^нелнн

ее

ъс* dt

dt²

dt²

^(8.65)

где с = (8|io)-V² — фазовая скорость электромагнитной волны в среде. Уравнение (8.65) представляет собой волновое уравне­ние, в котором имеется нелинейный член поляризации. Заме­тим, что член, учитывающий линейную поляризацию среды, вхо­дит в левую часть этого уравнения и включен в диэлектриче­скую проницаемость Б. Нелинейный же член Р^нслин расположен в правой части уравнения. Покажем, что этот член играет роль источника волн, генерируемых на новых частотах, а также ис­точника потерь падающей волны. В простом скалярном случае плоских волн, распространяющихся вдоль оси z, уравнение (8.65) принимает вид

(8.65а)

вс⁴

дЙ

ее² dt

dz²

&Е__о₁_дЕ_ 1 д*Е _ J_ d²P™*^m

с² dt²'

Амплитуда поля на частоте ш/ запишется следующим образом: E^i (2, i) = {£/(г) ехр [i(cdjt - k]Z)] + к. с.}, (8.66а)

где в общем случае является комплексной величиной. Анало­гично для амплитуды нелинейной поляризации на частоте

имеем

к. с.}. (8.666)

Поскольку уравнению (8.65а) должна удовлетворять по отдель­ности каждая из распространяющихся в кристалле волн соот­ветствующей частоты, в левую часть этого уравнения можно

подставить выражение (8.66а), а в правую его часть — выра­жение (8.666). В рамках приближения медленномеияющейся

амплитуды можно пренебречь второй производной величины Ej(г) (т. е. предположить, что d²Ej/dz²<£ kjdEj/dz).tlirm этом уравнение (8.65а) принимает вид

² + 1г~- ^£/ = ~' (-^-А РГ™. (8.67)

dz _Wu ' \*i*q^coJ ' ^{V ;}

где были использованы соотношения А/ = /г/©//со и е. = п*г₀

(со—скорость света в вакууме, а щ — показатель преломления на частоте ©/).

Уравнение (8.67) мы будем использовать в последующих разделах как основное. Заметим, что оно было получено в пред­положении существования скалярного соотношения между век­торами Р^иелин и Е [см. (8.41)], что не является правильным. В действительности же следует использовать тензорное соотно­шение [см, (8.54) ]. Однако можно показать, что, если Е,- теперь рассматривать как компоненту поля вдоль некоторой оси, а в $ выражении (8.41) коэффициент d заменить его эффективным значением й_эфф, то предположение о скалярном соотношении ме­жду Р и Е оказывается справедливым. Вообще говоря, величина й!эфф представляет собой комбинацию одного или нескольких ко­эффициентов dim, входящих в (8.54), и углов В и ф, определяю­щих направление распространения волны в кристалле [16] (в— -;| угол, который волновой вектор составляет с осью 2, a j> — угол, который проекция волнового вектора на плоскость ху составляет I с осью х кристалла). Например, в случае кристалла точечной 'I

группы симметрии 42т и фазового синхронизма типа I полу- 1 чаем <4_Фф = d_m sin 2ф sin 9. Однако для простоты записи в Соот­ношении (8.41) сохраним символ d, помня при этом, что на са­мом деле это d_Эфф_i т. е. эффективное значение коэффициента d.