8.2. Преобразование в пространстве; распространение гауссова Пучка

В этом разделе мы ограничимся рассмотрением распростра­нения гауссова пучка низшего порядка (мода ТЕМоо). Такие

важные как задача о распространении когерентного

лучка с негауссовым поперечным распределением [для которого мож­но по-прежнему использовать инте­грал Кирхгофа или уравнение (8.10) ] и частично когерентного пуч­ка [4], в данном разделе не затра­гиваются.

Выше уже мы обсуждали (разд.

4.6) случай распространения гаус­сова пучка моды ТЕМоо в свободном пространстве. Для удобства запи­шем снова выражения для размера

лазерного пятна w и радиуса кривизны R поверхностей равных фаз:

(8.1 а)

(8 Л б)

^{где w}_Q ^{— размер пятна в перетяжке пучка, а г — координата,}

измеряемая вдоль направления распространения пучка от пере­тяжки ». На рис. 8.1 показано, каким образом изменяются раз­мер лазерного пятна и поверхности равных фаз с расстоянием

Подчеркнем еще раз, что характер распространения такого

пучка зависит только от длины волны и размера пятна в пе­ретяжке пучка. Вспомним также, что это можно объяснить тем,

⁴⁾ Напомним, что радиус кривизны R(z) принято считать положитель­ным, если центр кривизны находится слева от волнового фронта.

если известно значение то в перетяжке как

плитуда, так и фаза волны (волновой фронт в перетяжке пло­ский). Поскольку при этом распределение поля на всей плоско­сти z ⁼ 0 оказывается известным, мы можем применить теорию дифракции [например, интеграл Кирхгофа (4.73)] и вычислить амплитуду поля в любой данной точке пространства. Здесь мы не будем проводить такого рода вычисления и ограничимся

лишь замечанием по поводу вы­ражения (8.1а), которое выра­жает тот факт, что квадрат раз­мера пятна пучка на расстоянии z от перетяжки равен сумме квад­ратов размера пятна в пере­тяжке и величины которая определяется дифрак­цией, В конце данного раздела в качестве упражнения мы полу­чим выражения (8.1) непосред­ственно из уравнений Максвел­ла без использования интеграла Кирхгофа.

Рассмотрим теперь особенно­сти распространения гауссова пучка ТЕМоо-моды через систему линз. На рис, 8.2 показано пове­дение пучка после его прохожде­ния через линзу с фокусным расстоянием / Сперва заметим, что непосредственно перед линзой размер пятна w\ и радиус кри­визны R\ волнового фронта пучка в соответствии с (8.1) можно записать в виде

(8.2а) (8.26)

Следует также заметить, что амплитудное распределение пучка при его прохождении через тонкую линзу должно оставаться неизменным, т. е. не должно быть скачкообразного изменения размера пятна. Таким образом, можно написать следующее ра­венство:

w₂ = w_{, (8.3а)

где w% — размер пятна пучка после линзы. Для вычисления кри­визны волнового фронта рассмотрим случай, когда через ту же линзу распространяется сферическая волна (рис 8.2, б). Сфери­ческая волна, испускаемая точечным источником Р„ фокуси­руется линзой в точку изображения Р_а- Из геометрической оп­тики следует хорошо известное соотношение 1/р+]/*=1//. Поскольку радиусы R_x и R₂ двух сферических волновых фрон­тов непосредственно перед линзой и после нее равны р и —q со­ответственно ¹\ можно также записать

^-\IR₂^=Mf.

(8.36)

Таким образом, в соответствии с этой формулой сферическая линза преобразует радиус кривизны R\ падающей волны в ра­диус кривизны R₂ выходящей волны. Аналогичным образом ра­диус кривизны выходящего гауссова пучка, показанного на рис. 8.2, а, будет также определяться формулой (8.36). Следо­вательно, мы имеем теперь как амплитудное [с помощью фор­мулы (8.3а)], так и фазовое [с помощью формулы (8.36)] рас­пределения поля волны на выходе линзы. Эта волна имеет гаус­сово распределение по амплитуде и сферический волновой фронт, т. е. гауссов пучок остается гауссовым и после того, как он пройдет через систему (тонких) линз. Этот результат остает­ся верным и в случае прохождения пучка через систему толстых линз, в чем можно убедиться, рассматривая толстую линзу как совокупность тонких. Зная размер пятна и радиус кривизны волнового фронта непосредственно после линзы, можно вычис­лить соответствующие величины в любой точке пространства. Например, размер пятна т_ш в новой перетяжке пучка и рас­стояние L₂ от линзы до этой перетяжки можно найти, выполняя расчеты по формулам (8.1) в обратном порядке. При некоторых

прямых преобразованиях мы приходим к следующим двум вы­ражениям:

I, - f ± (ш_ш/ш₀₂) (f² - f₀)^m, (8.4а)

L₂ = f ± (w₀₂/w_0l) {f - /о)"², (8.46)

откуда получаем Wo₂ и L₂. Входящая в (8.4) величина fo дается выражением

/₀ = пш₀₁ш₀₂/А, (8.5)

при этом в выражениях (8.4) можно выбрать либо оба знака

плюс, либо оба минус. Выражения (8.4) и (8.5) весьма полезны при решении различных задач, связанных с распространением

_{гауссова пучка (см. задачи 8.2 и 8.3). Здесь мы ограничимся}

лишь следующим замечанием: если первая перетяжка совпадает

Ч Обратите внимание на упомянутое выше соглашение относительно знаков,

с первой фокальной плоскостью (L\ = /), то вторая перетяжка

совпадает со второй фокальной плоскостью линзы {L^ — f). За­метим также, что в общем случае плоскости обеих перетяжек не связаны соотношением геометрической оптики (т. е. 1/Li + + l/L₂¥= l/f). Следует заметить, что данную проблему можно также решить с помощью закона ABCD для распространения гауссова пучка (см. разд. 4.6). Предположим, что

А В С D

— лучевая матрица, соответствующая оптической системе между двумя плоскостями перетяжек пучка на рис. 8.2, а. Значения элементов матрицы зависят от L_b L2 и f, и их нетрудно вы­числить, следуя процедуре, описанной в разд. 4.2Л. При этом комплексные параметры пучка д₂ и ^ в плоскостях перетяжек связаны соотношением (4.112). В рассматриваемом случае как <7ь так и q₂ являются чисто мнимыми и записываются следую­щим образом:

»1

_{/у ^jtzs^y}¹ _{/ ^ >^8« сЗ^а)}

ЧУ

^/К.

(8.56)

Подстановка этих выражений в соотношение (4.112) дает два уравнения, одно из которых следует из приравнивания вещест­венных частей, а другое — из приравнивания мнимых. Решение этих двух уравнений приводит к (8.4).

Прежде чем закончить данный раздел, покажем в качестве упражнения, как можно вывести выражения (8.1) из уравнений Максвелла без применения интеграла Кирхгофа. В скалярном случае уравнения Максвелла приводят к следующему волно-

^{вому уравнению}

1)

_V²_£-

1 д*Е :² dt²

_{= О.}

(8.6)

Монохроматическую волну можно записать в виде Е(х, у, z, t) = Е(х_у у₉ г)ехр (Ш). Подстановка этого выражения в уравне­ние (8.6); дает уравнение Гельмгольца

V²E(x_f у, z) + k²E(x₉ у, z) = 0, (8.7)

где k = о)/с. В случае радиально-симметричного пучка уравне­ние (8.7) можно записать в цилиндрических координатах:

(8.8)

_{* ,, 1 а.4)£ + й=о.}

*> В работе [5] указывается, что к строгому выводу этого уравнения необходимо подходить с некоторой осторожностью.

_дг ¹ _{г дг} ¹ _дг^г₎ ¹

Ищем теперь решение в виде

Е (г, z) = U (г, г) ехр (— ikz)_r (8.9)

где мы предполагаем, что U(r_y г) как функция координаты z слабо меняется с длиной волны (Я = 2n/k). Подставляя (8.9) в уравнение (8.8) и используя приближение медленноменяю-щейся амплитуды (т. е. считая, что дЮ/дг^ kdU/dz), полу­чаем

^{(h + i -w)и - ш 1£ = ъ- (8-10>}

Это и есть искомое фундаментальное уравнение (называемое уравнением квазиоптики), которое широко применяется в тео­рии дифракции. Его следует решать при соответствующих гра-ничныхусловиях.

Чтобы решить уравнение (8.10) в нашем случае, наложим следующее граничное условие (см. рис. 8.1):

U(r, 0) = ехр (- г/ш₀)². (8.11)

Соответственно для г > 0 будем искать решение в общем виде гауссовой функции

U(r, 2)=ехр(а-рг-), (8.12)

где как а, так и (3 являются комплексными функциями коорди- наты z. Прежде чем продолжить наши вычисления, покажем, какой физический смысл имеют величины аир. Вещественная часть величины а описывает изменение амплитуды на оси пучка (где г = 0) по мере его распространения, а мнимая часть вели- чины а фазовый сдвиг, который добавляется к фа- зовому сдвигу kz плоской волны, уже учтенному в решении (8.9). Вещественная часть величины р (обозначим ее через pV) связана, очевидно, с радиусом пятна пучка w соотношением

pV=l/-ct>². (8.13)

Чтобы понять смысл мнимой части р\: величины р, заметим, что в соответствии с выражениями (8.9) и (8.12) фаза волны имеет вид kz + Р/г². Таким образом, поверхности равной фазы, кото­рые пересекают ось z в точке z = 2о, должны удовлетворять ус­ловию

kz + $_tr² = kz₀. (8.14)

Это есть не что иное, как уравнение параболоида вращения, уже рассматривавшееся в разд. 4.5 [ср. выражение (8.14) и (4.102)]. Как показано в том же разделе, для точек, находящихся не очень далеко от оси, параболоид можно аппроксимировать сфе­рической поверхностью с радиусом кривизны

R = k/2^. (8.15)

Таким образом, в соответствии с этим выражением (3/ опреде­ляет радиус кривизны эквифазной поверхности внутри пучка в точке с координатами (г, г).

Теперь мы готовы к тому, чтобы подставить решение (8.12) в волновое уравнение (8.10) и использовать граничное условие (8.11). Подстановка дает

r²(/fe-^-+ 2Р²) - (ttitL+2p) = 0. (8.16)

Поскольку это выражение должно быть равно нулю при любом г, каждый из двух членов в скобках должен быть равен нулю, т. е.

*A-g-+2p*=0, (8.17а)

**-fjf- + 2p = 0. (8.176)

С учетом граничного условия (8.11) решение уравнения (8.17а) можно записать в виде

ik

^ ~ 2 (z + inwl/K) '

Подставляя эту величину в (8.18) и снова используя граничное условие (8.11), из уравнения (8.176) получаем

а = — in (1 — tefc/jwj). (8.19)

Вычисляя с помощью (8.18) вещественную и мнимую части ве­личины р и используя выражения (8.13) и (8.15), мы приходим к формулам соответственно (8.1а) и (8.16). С помощью (8.1а) выражение (8.19) можно записать в виде

ехр а = (о>о/ш)ехр (if), (8.20)

^{где величина}

f = arctg (Kz/nwl) (8.21)

представляет собой дополнительный фазовый сдвиг,

мый к обычному фазовому сдвигу плоской волны. Из (8.9), (8.12), (8.13), (8.15) и (8.20) окончательно получаем общее вы­ражение для амплитуды поля [ср. с (4.95) ]:

_{Е (г, z) = ^гехр \-i(kz - ф - г}² _{(Л- + -Ц^)] • (8.22)}