7.9. Сравнение лазерного и теплового излучений

Используя устройство, показанное на рис. 7.9, можно до­биться того, чтобы два пучка (от лазера и от ртутной лампы)

имели одну и ту же степень пространственной когерентности. Чтобы получить ту же самую степень временной когерентности, в устройство на рис. 7.9 необходимо ввести фильтр, который пропускал бы только в очень узкой полосе частот, совпадающей с полосой частот генерации Д\>_ген Не—Ne-лазсра. Будем считать, что ширина полосы генерации лазера Av_reH ж 1 кГц. Поскольку ширина линии излучения рассматриваемой ртутной лампы Av= = 10¹³ Гц, благодаря фильтрации выходная мощность умень­шается еще более чем на десять порядков величины (теперь Р ж Ю^-18 Вт). Напомним, что первоначальная мощность лампы равнялась 100 Вт! Это также показывает, насколько более сложно получить явление интерференции света (для осущест­вления которой требуются источники света высокой когерент­ности), применяя некогерентные источники света.

Этот выходной пучок от ртутной лампы теперь имеет такую же пространственную и временную когерентность, что и Не—Ne-лазер. Поэтому естественно спросить, обладает ли этот свет точно такими же характеристиками когерентности, как и лазер­ный пучок. Ответ на такой вопрос является отрицательным. Не­смотря на предпринятые меры, которые столь отрицательно ска­зались на выходной мощности, лазерное излучение все же более

когерентное, чем «отфильтрованный» свет лампы. Это различие обусловлено, как показано в разд. 7.4, разными статистическими

свойствами двух источников света. В разд. 7.4 мы действительно

показали, что флуктуации пучка непрерывного лазера по суще­ству состоят из случайных колебаний его фазы в пределах угла 2п (рис. 7.1,а), в то время как флуктуации теплового излучения

обусловлены случайными движениями в окрестности начала ко­ординат точки, представляющей величину E(t) в плоскости £^(г), Если теперь два пучка приготовлены таким образом, что они имеют одинаковую временную когерентность, то скорость

движения этой характерной точки для обоих случаев на

рис. 7.1, а, б будет той же самой. Если затем сделать так, что оба пучка будут иметь одинаковую пространственную коге­рентность, то указанная скорость движения будет той же самой

в любой точке волнового фронта. Предположим, что интенсивно­сти обоих пучков одинаковы. Это можно в принципе осущест­вить либо ослаблением лазерного пучка линейным аттенюато­ром, либо усилением пучка теплового излучения с помощью ли­нейного усилителя (с коэффициентом усиления 10¹⁵ в примере, рассмотренном в предыдущем разделе!). Это означало бы про­сто, что в выражении (7.9) величина £о такова, что £о равно средней интенсивности </> излучения теплового источника. Не­смотря на это статистические свойства лазерного излучения и излучения теплового источника остаются различными, поскольку линейное ослабление или усиление пучка не меняет статистиче­ских свойств источников.

7.10. Когерентность более высокого порядка [4]^!>

Дополнительный способ описания различия между излуче­ниями лазера и теплового источника состоит в том, что для со­ответствующих полей вводятся должным образом определенные

функции когерентности высшего порядка. Действительно, в разд. 7.5 когерентные свойства волны были определены с по­мощью корреляционной функции Г<4 Поскольку эта функция включает в себя произведение сигналов, полученных в два раз­ных момента времени или в двух различных точках простран­ства, она называется корреляционной функцией первого поряд­ка. Соответственно степень когерентности, определяемая с по­мощью этих функций, описывает статистические свойства волны только первого порядка. В действительности, чтобы получить полное описание поля, необходимо ввести целый класс корре­ляционных функций высшего порядка. Для краткости обозна­чим пространственные и временные координаты точки через Xi — (r«% ti). При этом корреляционную функцию я-то порядка

можно определить следующим образом:

rW(*i, х_я, -.., х_2п) ={F (jci) -V (х_п) V⁹ (x_n+l) ---V (*»,)>. (7.60)

Это выражение содержит произведение членов, каждый которых представляет собой функцию У, вычисленную в одной из 2п пространственно-временных точек Х\₉ х₂, • • » #2,?. Соответ­ствующая нормированная величина дается выражением

*"><*,. * _X2n)=(VM'--VMV_{Xn+])...V4_Xin))_{t (761)}

П (V(XrW* (х_Г))^Ш

D Автор выражает благодарность проф. В. Деджорджио за полезное обсуждение материала этого раздела.

где П обозначает произведение. Очевидно, при п = 1 эти выра­жения сводятся к выражениям (7.16а) и (7.17). Заметим, что в эксперименте, описанном в предыдущем разделе, пучки излу­чения от He-Ne-лазера и ртутной лампы были приготовлены таким образом, что они имели одну и ту же степень пространст­венной и временной когерентности, т. е. ту же самую корреля­ционную функцию Г⁽¹⁾ первого порядка. Однако, поскольку ста­тистические свойства обоих сигналов полностью различны, мо­жно предположить, что корреляционные функции Г^Сл) высшего порядка будут отличаться в каждом из двух случаев и мож­но будет сделать различие между когерентной и некогерентной волнами. Сначала с помощью корреляционных функций выс­шего порядка необходимо уяснить, что мы подразумеваем под полностью когерентным светом. Начнем с замечания о том, что если волна является полностью когерентной в первом порядке [т. е, если [у^{1) (хих₂) | = 1], то

Г⁽¹⁾ (х_ь х₂) = V (*,) V⁰ {х£, (7.62)

т. е. величину можно записать в виде произведения анали­тического сигнала в точке Xi на аналитический сигнал в точке х₂. Действительно, если полностью отсутствуют флуктуации по­ля, то средние по ансамблю, например в выражениях (7.11) или (7,16а), будут представлять собой просто произведения соот­ветствующих сигналов. По аналогии полностью когерентную электромагнитную волну определяют как волну, для которой величина Г<^я> факторизуется при любом л. Таким образом,

п

2д

_Г<^Л) _{(ХЬ *2. • • •. **п) = П v (Хг) П}

_V

fo). (7.63)

В самом деле, когда полностью отсутствуют флуктуации поля, среднее по ансамблю выражения (7.60) будет представлять со­бой произведение аналитических сигналов. В этом случае из (7.61) найдем, что

^{\У{пЧ*1> *ь (7.64)}

для любого порядка п. В частном случае, когда x\==*2 —... .. , = х_2п — х, из выражения (7.63) следует, что

Г<^п>(х, х₉ — | V(x) Т = Г(х)- [rWfo х)]^п, (7.65)

поскольку в этом случае I(x) — \V(x) |² = Т^¹Цх, х).

С хорошим приближением можно считать, что сигнал от не­прерывного лазера, генерирующего на одной моде, имеет лишь флуктуации фазы. Однако для частотно-стабилизированного ла­зера скорость изменения фазы мала. Например, в лазере, гене­рирующем излучение с шириной полосы Дг_Ген = 1 кГц, измене­ние фазы будет появляться приблизительно за время т_Коге_Р = = l/Av_reH=l мс (так что |#/# dt\ ж Av_reH). Следовательно, на временном интервале, много меньшем чем Ткогер, или на расстояниях между эквифазными поверхностями 2п пространст­венно-временных точек, которые много меньше, чем cwep = = 300 км, флуктуациями фазы можно пренебречь. В этом слу­чае пучок не имеет флуктуации и может рассматриваться как когерентный во всех порядках. Заметим, что в соответствии с материалом, изложенным в разд, 7.5.4, поле нестационарного

^{лазерного пучка (например, лазера с синхронизацией мод или}

одномодового лазера с модулированной добротностью) можно также сделать когерентным во всех порядках, если устранить флуктуации. Следовательно, в обоих случаях, когда х\ = = х₂ = ... —х, применимо выражение (7.65).

Тепловой же источник света обладает совершенно другими статистическими свойствами, и можно показать, что корреля­ционные функции высших порядков, описывающие его поведе­ние, должны отличаться от функций, соответствующих когерент­ному источнику света. Рассмотрим, в частности, случай, когда х_х = х₂ = . . . =х_2п = х. При этом функцию Г<^я>(х, х, . . . , к) мо­жно найти из следующего выражения:

где Е =Е(х)— амплитуда поля в точке с координатой х [см. выражение (7.8)] и р(Е) — плотность вероятности, определен­ная в разд. 7.4. Если теперь выражение (7.10) для р(Е) исполь­зовать в выражении (7.66), то получим

^{I™ (х, х, . . ., к) = п! </>* = п I [Н1* (х, х)]п}_у ^(7.67)

поскольку в этом случае </>=<У(я), V(x)}=T(x, х). Сравне­ние выражений (7.67) и (7.65) показывает, что при том же са­мом значении функции Г⁽¹⁾(*, х), т. е. при том же значении (средней) интенсивности функция корреляции п-то порядка для теплового источника света в л! раз больше, чем для когерент­ного источника. Подставляя выражение (7.67) в (7.61), имеем

у<^я> = п! (7.68)

Сравнение выражений (7.68) и (7.64) показывает, что тепло­вой источник света может удовлетворить условию когерентности лишь при п — 1, т. е. только в первом порядке. Отсюда следует, что тепловой источник может обеспечить в лучшем случае пол­ную (первого порядка) пространственную и временную коге­рентное™, так, как показано в предыдущем разделе.

^Задачи

1. Покажите, что в случае квазимонохроматической электромагнитной вол­ны соотношение (7.7) между интенсивностью /(г, t) и величиной V<'> запи­сывается в виде 2/- <У<'>»>, где усреднение проводится по нескольким оптическим периодам. [Указание: воспользуйтесь соотношением (7.5)].

2. Вычислите Г^(г_ь г_1в т) для синусоидальной волны.

3. Вычислите Г<¹⁾(Г1, п, т) для синусоидальной волны, которая испытывает скачки фазы, как показано на рис, 2.5, с вероятностью Рт, определяемой выражением (2.52). Постройте соответствующую зависимость степени коге­рентности у⁽¹⁾(^гь Tj, т) от т и сравните полученную кривую с приведенной на рис. 7.2.

4. Получите выражение (7.18).

5. Выведите выражение (7.22).

6. Для интерферометра Майкельсона найдите аналитическое соотношение между интенсивностью 1_С и величиной 2(I₂ — U) для электромагнитной волны, рассмотренной в задаче 7.3. Вычислите соответствующую видность полос Vp(x).

7. Лазер, работающий на длине волны 103 мкм, дает излучение с гауссо­вой формой линии шириной 10 кГц [Av_ren определяется с помощью соотно­шения (7.35)]. Воспользовавшись рис. 7.4,6, вычислите расстояние AL между двумя последовательными максимумами на кривой интенсивности и длину когерентности Lc*

8. Линзой фокусируется пучок с плоским волновым фронтом электромаг­нитного излучения, круговым поперечным сечением и однородным распреде­лением интенсивности; Во сколько раз увеличится интенсивность в фокусе линзы по сравнению с интенсивностью падающей волны?

9. Пучок, излучаемый Nd : YAG-лазером, имеет диаметр D » 6 мм, равно­мерное распределение интенсивности в поперечном сечении и угол расходи­мости tf„*3 мрад. Покажите, что этот пучок не является дифракционно-ограниченным, и оцените размер пятна ш₀ для моды ТЕМоо резона­тора.

10. Насколько необходимо уменьшить апертуру активного элемента в пре­дыдущей задаче, чтобы снизить вдвое расходимость пучка?

11. Каким образом можно измерить расходимость лазерного пучка, описан­ного в задаче 7.9?

7.12. что лазерный пучок, в задаче 7.9, проходит через аттенюатор, коэффициент пропускания (по мощности) Т которого из- меняется с радиусом г по закону Т — ехрГ — Wwi)²], причем Wi = 0,5 мм. Таким образом/пучок, прошедший через аттенюатор' имеет приблизительно гауссовый профиль интенсивности. Означает ли это, что теперь пучок яв- ляется гауссовым с размером пятна (по интенсивности) ш/?

7.13. Лазерный пучок, описанный в задаче 7Д проходит через телескоп, как показано на рис. 7.12. Вычислите диаметр точечной диафрагмы, которую необходимо поместить в общий фокус телескопа t\ = f₂, чтобы получить дифракционно-ограниченный выходной пучок. Заметим, что, поскольку пучок уже обладает достаточно хорошей пространственной когерентностью, следует воспользоваться выражением для когерентного, а не для некогерентного пучка [т.е. выражением (7,55)].

Литература

477

14. Покажите, что выражение (7.62) справедливо для идеально синусои­дальной волны.

15. ГНокажите, что выражение (7.63) справедливо для идеально синусои­дальных ВОЛИ.

16. Рассмотрим лазерный пучок, который генерируется лазером в режиме I поперечных мод. Напишите соответствующие аналитические сигналы в двух точках п и г₂, как в (7.40). Предполагая, что частоты генерируемых

мод различны, покажите, что

(V(t_v t). V(r₂> £ ajajUjitijyir),

где суммирование осуществляется по всем I генерируемым модам. Пока­жите, затем, что

i

/-1

[i "j 1/2 Г i -I

1/2 "

Если определить два /-мерных вектора Rj и с компонентами соответ­ственно [ai£/t(ri), aiUiivA] и fait/i(гг),..., aiUi(гг)], то покажите, что величину y<" можно записать в виде y<» = Ri-R₂/№ где Hi и J?,-мо­дули векторов R] и R,. Покажите, что в соответствии с этим выражением, поскольку R2 Ф Ri, всегда справедливо неравенство |у<«>| < 1. т.е. пучок обладает лишь частичной простра нствеиной когерентностью.