(Лампы).

Если теперь апертура D собирающей линзы U удовлетворяет условию D = 28/= 2,44Я//^де f— фокусное расстояние линзы,

то линза будет собирать только свет, дифрагированный на диа­фрагме и формировать при этом когерентный пучок на выходе. Однако это доказательство является довольно упрощенным, по­скольку оно использует соотношение (7.43), которое справед­ливо лишь в случае, когда диафрагма освещается светом, кото­рый уже является когерентным. Более строгое решение этой за­дачи требует изучения распространения частично-когерентных электромагнитных волн [3, с. 508—518]. Предположим для про­стоты (а также потому, что это нередко встречающийся на прак­тике случай), что падающая на диафрагму волна не имеет про­странственной когерентности. В этом случае из хорошо извест­ной теоремы ван Циттерта—Цернике [3, с. 508—518] следует, что если пучок, выходящий из линзы V (см. рис. 7.9), должен иметь некоторое вполне определенное значение пространствен­ной когерентности, то диаметр D линзы должен быть равен D = рХ//бГ,где р — числовой коэффициент, который зависит от заданной нами степени когерентности. Например, если мы по­требуем, чтобы степень пространственной когерентности между двумя крайними точками Pi и Ро на краях линзы имела значение

\у (Ри Р2, 0) \ — 0,88, то мы получим р = 0,32. Это приводит к выражению

^{/) = 0,32Л/Дг, (7.55)}

которое имеет такой же вид, как и выражение, полученное из первоначального упрощенного рассмотрения, но с другим (и фактически со значительно меньшим) числовым коэффиди-ентом.

7.7. Лазерная спекл-картина [6, 7]

После того как мы рассмотрели в предыдущих разделах ко­герентность первого порядка, упомянем теперь об удивитель­ном явлении, характерном для лазерного излучения и называе­мом спекл-картиной. Спекл-картину можно увидеть, если на­блюдать лазерный свет, рассеянный от стены или рассеиваю­щего транспаранта. Наблюдаемый рассеянный свет состоит из хаотического скопления ярких и темных пятен (или спеклов) (рис. 7.10, а). Несмотря на хаотическое распределение пятен можно различить пятно (или зерно) средних размеров. Из пер­вых же работ стало ясно, что это явление обусловлено интерфе­ренцией вторичных волн с усилением и ослаблением, распро­страняющихся от небольших рассеивающих центров, располо­женных на поверхности стены или рассеивающего транспаранта.

Поскольку рассматриваемое явление наблюдается только тогда, когда излучение имеет высокую степень когерентности первого порядка, оно представляет собой неотъемлемое свойство лазер­ного излучения.

Физическую природу наблюдаемой зернистости нетрудно по­нять как при распространении света в свободном пространстве (рис. 7.10,6), так и при распространении его через систему фор­мирования изображения (рис. 7.10,0), если рассмотреть случай, когда рабочие поверхности рассеивателей имеют очень большую шероховатость в масштабе оптических длин волн. При распро­странении в свободном пространстве результирующая оптиче­ская волна в любой точке, находящейся на не слишком большом

расстоянии от рассеивающей поверхности, состоит из многих ко­герентных компонент или элементарных волн, каждая из кото­рых испускается со своего микроскопического элемента поверх­ности. Обратившись к рис. 7.10,6, заметим, что расстояния, пройденные этими различными волнами, могут отличаться на много длин волн. Интерференция сдвинутых по фазе, но коге­рентных элементарных волн приводит к «зернистому» распреде­лению интенсивности (или спекл-картине, как ее называют). Если оптическое устройство представляет собой систему форми­рования изображения (рис. 7.10, в)₉ то при объяснении наблю-

■

₈

д аемой картины необходимо учитывать как дифракцию, так и интерференцию. Даже в случае идеально скорректированной си­стемы формирования изображения интенсивность света в дан­ной точке изображения может быть результатом когерентного сложения вкладов световых волн, испущенных из многих независимых участков по­верхности. Необходимо толь­ко для гарантии суммирова­ния в каждой точке изобра­жений многочисленных сдви­нутых по фазе когерентных

наблЮдена»

в кладов, чтобы функция раз­решения системы формиро­вания изображения была широкой по сравнению с микроскопическими дефек­тами поверхности.

Функции spacctfttm

Нетрудно получить оцен­ку по порядку величины раз­мера зерна d_g (т. е. средний размер пятен в спекл-карти-не) для двух рассмотренных выше схем. В первом случае (рис. 7.11, а) рассеянный свет регистрируется на фо­топленке, расположенной на

расстоянии L от рассеивате-ля, причем между фотоплен­кой и рассеивателем ника­ких линз нет. Предположим, что в плоскости регистрации в некоторой точке Р суще­ствует светлый спекл. Это означает, что свет, дифраги­рованный на рассеивателе

(например, в точках Р_и Р₂ и 0), будет интерферировать в точке Р преимущественно с усилением, давая в результате ненулевое значение амплитуды поля. Подходя эвристически, при этом можно утверждать, что вклады от дифракции в точке Р от волн, рассеянных в точках

P_v P^r_v Pf и т. д., складываются (в среднем) в фазе с волнами, рассеянными в точках Р₂, P^f_v Р% и т. д. Теперь можно спросить, сколь далеко необходимо переместить точку Р вдоль оси х в

плоскости регистрации, чтобы расстроить наблюдаемую интер­ференцию с усилением. Это произойдет, когда вклады от волн, дифрагированных, например, от точек р\ и Р₂ в новую точку Р' интерферируют с ослаблением, а не с усилением. В этом случае можем показать, что вклады от точек P'_v Р'₂ будут также интер­ферировать с ослаблением, как и в случае точек Р", Р" и т.д..

и полная интенсивность света будет иметь минимальное значе­ние. Например, выберем точки Pi и Р₂ и потребуем чтобы изменение бл-координаты х точки Р было та­ким, что соответствующее изменение б(Р₂Р—Р]Р) разности длин Р₂Р —

— PiP было равно К/2. Поскольку расстояние Р^Р = (х²+ L²)^1/2 и рас­стояние Р,Р={[ф/2)-х}Ч/7К то (для D<L) получаем 6(Р₂Р-

Рассеаватет

lies

— Р^) ж\D/2L)bx. Если потребо­вать, чтобы ЦР₂Р-Р_ХР) = 1/2, то находим

6* = ХЦО. (7.56)

рассмотреть

^{точки P'}_t ^{и Р'}₂ ^{(или точки р" и Р'1}

Рис. 7.11. К расчету размера зерна при распространении

света в свободном простран- п d п

стве (а) и через систему, фор- И т. Д.)., а не ТОЧКИ У\ И "2- UHOBH

мирующую изображение (б), все соответствующие вклады от

волн (в среднем) будут складывать­ся с ослаблением, а не с усилением. Таким образом, для раз­мера зерна d_e можно написать следующее приближенное выра­жение:

d_g = 26* = 2KL/D. (7,57)

Следует заметить, что аналогичный подход можно использовать

_{при расчете диаметра пятна пучка в фокальной плоскости линз.}

Рассмотрим случай, когда рассеиватель на рис. 7.11, а помещен

перед линзой с фокусным расстоянием f = L. Тогда максимум интенсивности будет в точке с координатой х = 0 (т. е. в центре

плоскости поскольку линза даст сферический вол-

новой фронт и вклады от волн, дифрагированных в точках

P^f_v Р" и т. д., складываются в фазе с волнами, исходящими из точек Р" пятна в фокальной плоско-

сти снова приближенно дается выражением (7.57), и для рас­сматриваемого случая мы имеем d_t = 2Х//Л Этот результат

Аналогичным образом нетрудно по­казать, что точно такой же резуль­тат получается, если

сравним с точным значением d = 2,44Х//Д полученным с по­мощью рис. 7.6. Следовательно, можно теперь понять следую­щее общее свойство дифрагированной волны: если вся апертура диаметром D дает когерентный вклад при формировании одного или многих пятен дифрагированным светом в плоскости реги­страции на расстоянии L, то в любом случае минимальный раз­мер пятна в этой плоскости приближенно равен 2XL/D". Заме­тим, что в случае рассеивателя этот когерентный вклад от всей

апертуры D имеет место при условии, что 1) диаметр d_s отдель­ного рассеивающего центра гораздо меньше диаметра отверстия D и 2) в плоскости регистрации имеется существенное перекры­тие ме'жду дифрагированными пучками от различных рассеиваю­щих центров. Это означает, что сечение любого из этих пучков в плоскости регистрации (~ XL/d$) больше, чем среднее рас­стояние между ними (~D). Следовательно, длина L должна быть такой, чтобы выполнялось неравенство L > d_sD/X. Напри­мер, если d_s = 10 мкм и X = 0,5 мкм, то L > 20 D.

Второй случай, который мы рассмотрим, характеризуется

тем, что рассеянный свет регистрируется на фотопленке после

того, как он прошел через линзу, которая отображает рассеива-тель на фотопленку. Перед линзой помещена диафрагма диа­метром D' (рис, 7.11,6). Если расстояние L снова является та­ким, что выполняется неравенство L > d_sD/X, то диаметр зерна d_g на линзе будет определяться выражением (7.57). Как и в пре­дыдущем случае, будем считать, что 1) диаметр зерна d_g много меньше диаметра отверстия Си 2) в плоскости регистрации

^{имеется существенное перекрытие пучков, дифрагированных от}

_{различных зерен. Это означает, что сечение любого из данных}

пучков в плоскости регистрации (XL'/d_e) больше, чем среднее расстояние между ними (£>'). В соответствии с (/.5/) это, оче­видно, означает/что D' < D'{L'/L). Если оба этих предположе­ния выполняются, то диаметр зерна dg в плоскости регистрации дается выражением

d'=2XL'/D'. (7,58)

о

В этом случае мы имеем целый пучок диаметром который

действует когерентно при формировании каждого отдельного

пятна дифрагированным светом. Заметим, что устройство на рис. 7.11,6 также соответствует случаю, когда глаз смотрит

*) Поскольку L Д то распределение поля в плоскости регистрации определяется пространственным фурье-преобразованием распределения во входной плоскости [8]. Это свойство следует из общего характера фурье-пре­образования.

_{непосредственно на рассеивающую поверхность. В этом случае} линзой служит хрусталик, а плоскостью регистрации — сетчатка глаза. Соответственно величина d'_gt определяемая выражением

(7.58), представляет собой диаметр зерна на сетчатке глаза. Заметим, что видимый диаметр зерна на рассеивающей поверх­ности d_ag—d^/_g(LfL')=2XLjD^/. Он возрастает с увеличением

расстояния L, т. е. с увеличением расстояния между наблюдате­лем и рассеивающей поверхностью. В то же время он умень­шается с увеличением диаметра диафрагмы (например, когда глаз адаптирован в темноте). Оба этих результата действитель­но подтверждаются в экспериментах.

Спекл-шум часто является нежелательным свойством коге­рентного света. Пространственное разрешение объектов, осве­щенных лазерным светом, во многих случаях ограничивается

спекл-шумом. Спекл-шум возникает также в реконструирован­ном изображении голограммы и ограничивает пространственное разрешение этого изображения. Поэтому были разработаны ме­тоды, которые уменьшают влияние спекл-картины при когерент­ном освещении объектов [7]. Однако спекл-шум не всегда яв­ляется вредным эффектом. Действительно, разработаны методы, в которых используются свойства спекл-картины (спекл-интер-

ферометрия), чтобы определять довольно простым способом де­формации крупных объектов, вызываемые, например, напряже­ниями или вибрациями [7].