2.3.3. Механизм уширения линии

В данном разделе мы кратко обсудим различные механизмы уширения линии и связанные с этим свойства функции g(&v). Сразу же введем играющее важную роль различие между одно­родным и неоднородным механизмами уширения. Будем назы­вать механизм уширения линии однородным, когда линия каж­дого отдельного атома и, следовательно, всей системы уширя­ется в одинаковой степени. Наоборот, механизм уширения линии будем называть неоднородным, когда он действует таким обра­зом, что резонансные частоты отдельных атомов распределя­ются в некоторой полосе частот и, следовательно, линия всей системы оказывается уширенной при отсутствии уширения ли­нии отдельных атомов.

2.3.3.1. Однородное ушарение

Первым механизмом однородного уширения линии мы рас­смотрим тот, который обусловлен столкновениями. Он называ­ется столкновительным уширением. В газах это уширение про­является при столкновениях атома с другими атомами, ионами, свободными электронами или стенками резервуара. В твердых телах оно возникает за счет взаимодействия атома с фононами решетки. После того как произошло одно из таких столкнове­ний, волновые функции атома Mi (г) и и₂(т) в выражении (2.23), а следовательно, и его электрический дипольный момент u,,i

[см. (2.28)] уже не будут иметь ту же фазу относительно фазы падающей электромагнитной волны. Это означает, что столкновения нарушают процесс когерентного взаимодействия атома с падающей электромагнитной волной. Поскольку в про­цессе взаимодействия значение имеет только относительная фаза, эквивалентным является предположение о том, что при

каждом столкновении скачок испытывает фаза электриче­ского поля, а не фаза диполь-ного момента jtioi. Следова­тельно, электрическое поле волны уже не описывается си­нусоидой, а имеет вид, пока­занный на рис. 2.5, когда в мо­мент столкновения происходит

скачок фазы. Отсюда ясно, что с точки зрения атома волна больше не является монохро­матической. В этом случае, если для плотности энергии волны в частном интервале от v' до V + dv'написать соотно­шение dp — pv'dv'y то эту эле-

плотность энергии

можно использовать в выражении для монохроматического из­лучения (2.36а), откуда находим

2д²

(2.46)

Полная вероятность перехода может быть получена путем ин­тегрирования выражения (2.46) по всему спектру излучения:

оо

^{Wi 2 =} 8я*е₀Л» I >*⁸¹' J ^Pv'⁶ ~~ ^dv'*

(2.47)

—оо

Теперь для p_v можно написать следующее выражение:

Pv' = Pg (v'— V),

(2.48)

где р — плотность энергии волны, определяемая выражением (2.35), а функция g(v' — v) описывает спектральное распреде- ление величины Поскольку очевидно, то, ин- тегрируя обе части в (2.48), мы видим, что функция g(v'— v)

^{должна удовлетворять условию нормировки}

оо

^{J g(v'-v)dv'=l.}

_(2.49)

—оо

Подставляя (2.48) в (2.47) и используя свойства дельта-функ­ции, имеем

Видно, что выражение для W\2 действительно получается путем замены в (2.36а) 6(v —vo) на g(v — vo)» как мы и предполо­жили, забегая вперед, в предыдущем разделе. Заметим, что в соответствии с (2.49) мы также имеем

оо

\ g(v — v₀)d\ = 1.

_(2.51)

-оо

Теперь нам остается вычислить нормированную спектраль­ную плотность падающего излучения g {V— v). Эта функция зависит от интервала времени между столкновениями % (рис. 2.5), который, очевидно, меняется от столкновения к столкновению. Будем считать, что распределение значений т можно описать плотностью вероятности

_р% ^{= [ехр (— т/Г}₂^)]уТ₂^{. (2.52)}

Здесь р_х d% представляет собой вероятность того, что интервал времени между двумя последовательными столкновениями при­нимает значение между % и т + rft. Следует заметить, что Т₂ имеет физический смысл среднего времени х_с между двумя столкновениями. Действительно, нетрудно показать, что

оо

(2.53)

_о

Следует также заметить, что вероятность р (т) того, что сле­дующее столкновение произойдет позже, чем через промежуток времени т, равна

оо

^{Р i=\ p}_t^{dr = exp(~x/x}_c^y,

(2.54)

здесь мы использовали условие (2.52). При вычислении g(v'—v) удобно вначале вычислить распределение — со) как функцию угловой частоты со'[о/= 2nv']. Поскольку оче­видно, что g(v' — v) dv' — g(co^/ — со) da/, мы имеем g{v'— v) =

— 2ng{<d)' — со). С точностью до постоянного множителя функ­ция g((a^f — со) есть не что иное, как спектральная мощность W(а/) сигнала E(t), показанного на рис. 2.5. Чтобы сделать этот постоянный множитель равным единице, мы потребуем, чтобы в соответствии с (2.51) W(m^r) удовлетворяла условию

\ W(<u^f) rfo/ — 1. Следует заметить, что в соответствии с теоре­мой Парсеваля

оо

\ W((a') rf©' = lim — \ Е² (/) Л = пЕ%,

оо — i

(2.55)

_{где Ео}

^{амплитуда волны}

(см. рис. 2.5). Условие \wda>'=l

(2.56)

приводит, таким образом, к требованию пЁо = 1. Следователь­но, функция g(<o'— со) соответствует спектральной мощности сигнала £(/), показанного на рис. 2.5 и имеющего амплитуду Ео — (л)~~^1/2. В свою очередь эту спектральную мощность мож­но получить как фурье-образ автокорреляционной функции сиг­нала (согласно теореме Винера —Хинчина). Если бы функция на рис. 2.5 была идеальной синусоидой с частотой со, то ее кор­реляционная функция была бы равна (£§/2) coscdt= (1/2я) cos шт. Однако волна на рис. 2.5 испытывает разрывы с плотностью вероятности р_и определяемой условием (2.52). Если на рис. 2.5 выбрать две точки, разделенные интервалом времени т, то ве­роятность того, что они коррелированы (т. е. что они находятся на одной и той же не испытавшей разрывов части синусоидаль­ной волны), равна р(т) в соответствии со смыслом этой вероят­ности, определямой соотношением (2.54), Вероятность же того, что эти точки не коррелированы вследствие имевших место между ними разрывов, равна 1—р(т). Таким образом, искомая корреляционная функция запишется в виде [р(т) cos сот] /2я. Проведенный нами расчет справедлив лишь для т > 0. Чтобы получить корреляционную функцию для т < 0, достаточно вспомнить, что она является симметричной [G(—т) = G(t)] . В окончательном виде корреляционная функция запишется сле­дующим образом;

G (т) (1 /2л) ехр (—т/т,.) cos шт.

^{Отсюда согласно теореме Винера — Хинчина находим}

^{, /ч 1 Г тс , Jc "I}

^{2я ^ 1 + (со - со)" x? 1 + (со -ьсо) т}_с ^J

(2.57)

В квадратных скобках первое слагаемое дает спектр с центром в точке -f-to, а второе — с центром в точке —со. Если ограни­читься рассмотрением только положительных значений то можно опустить второе слагаемое, умножив при этом первое на двойку. Таким образом, £(©' — со) можно записать в виде

g(<x\' — ш) = а для g(<do — ю) получаем

1

(2.58)

g (ф$ — со)

п \\ + (со₀ —<э)²т²]

_(2.59)

Поскольку g(v-vo) = 2я£(СБ-ш₀), выражение (2.59) можно переписать следующим образом:

_g (v — v₀) = 2т_{с 7} ¹ ₉ , ₀₁ . (2.59а)

Это выражение и является нашим окончательным результатом. Функция g(v — Vo) = g(Av) построена на рис. 2.6 в зависи-

Рис. 2.6. Лоренцева линия.

мости от Av = v — vo. Она достигает максимума в точке Av = 0( т. е. v = vo), значение которого равно 2т_г. Полная ши­рина кривой между точками, соответствующими половине мак­симального значения, равна

^(2.596)

т. е. примерно соответствует обратному среднему времени меж­ду столкновениями т_с. Кривая, описываемая функцией g(Av), определяемой выражением (2.59а), называется лоренцевой.

Уместно заметить здесь, что картина на рис. 2.5 весьма грубо описывает физическое явление, которое имеет место в действительности. Мы предполагаем, что скачки фазы происхо­дят мгновенно, а это в свою очередь означает бесконечно ма­лую длительность столкновения. В действительности же при столкновении атом (или молекула) попадает в потенциальное

поле либо сил притяжения (рис. 2.23), либо сил отталкивания

(рис, 6.25). В этом потенциальном поле энергетические уровни 1 и 2 атома сдвигаются соответственно на AEi(R) и AE₂(R)_t где R - расстояние между двумя сталкивающимися атомами. Соответствующее изменение частоты перехода дается выраже­нием

Av₀ (о _t (2.60)

где поскольку расстояние R зависит

от времени. К решению данной задачи мы снова применим

другой, эквивалентный под-

П (1П П П О П П П ,П П П П П П i-Гш^Ямена^И S^a-

^{стота перехода, а частота}

5994

_иии

^{I II IIIIII IIII падающей волны на величи-J и IU и и U и ну Av(/) = [А£}₂ ^{— A£]]//t.}

J При этом подходе волна с

Рис. 2.7. Поведение электромагнитной полны во времени, наблюдаемое в систе­ме координат атома» испытывающего столкновения в течение времени Дт_с.

точки зрения атома испы­тывает частотный сдвиг в

течение времени столкнове­ния АТС (рис. 2.7). Отсюда

Порядок величины можно

_по-

0)

_{соотношения}

ясно, что более строгая тео­рия столкновительного уширения должна учитывать конеч­ную длительность столкновения Ах_с и все явления, проис­ходящие в течение этого времени. Однако можно показать, что в случае Дт_с <С т_с функция g(o/ — о>) достаточно точно описы­вается лоренцевой кривой вплоть до частот, удовлетворяющих условию лучить из

Ат_с ^ а/о

тепл у

(2.61)

где а — расстояние между атомами (или молекулами), на кото­ром они начинают оказывать влияние друг на друга, а ^тепл — средняя скорость их теплового движения. В действительности величина а приблизительно равна размеру молекулы, т. е. со­ставляет около 1 А (см., например, рис. 6.24). Среднюю тепло­вую скорость можно вычислить по формуле где М— масса молекулы. Например, для атома Ne при ком­натной температуре из (2.61) и (2.62) получаем

Дт_в » 10~¹³ с. (2.63)

Следует заметить, что на этом интервале времени уложится не­сколько периодов световой волны (* « 5-10¹⁴ Гц). Кроме того, интервал времени х_с между двумя столкновениями по порядку величины равен отношению средней длины свободного про­бега к средней скорости и_тв1М. Таким образом, мы имеем

16я ' ра

где р — давление газа, а а — радиус молекулы. Для атомов Не при давлении р ~ 0,5 мм рт. ст. (типичное давление в Не - He-лазере; см. гл. 6) и при комнатной температуре по­лучаем

т_в»0,5- 1СГ⁶с. (2.65)

Отсюда видно, что Дт_с « т_с. Соответствующая ширина линии (см. рис. 2.6) равна

Av₀ = 1/ш_с= 0,64 МГц. (2.66)

Заметим, что величина х_с обратно пропорциональна давлению р, т. е, ширина линии Avo пропорциональна давлению р. В ка­честве грубого приближения можно считать, что для любого

атома столкновения уширяют линию на величину Avo/p ~

« 1 МГцДмм рт. ст.), что сравнимо с оценкой, сделанной нами для атомов Не.

Второй механизм однородного уширения линии связан с яв­лением спонтанного излучения. Поскольку спонтанное излуче­ние неизбежно присутствует в случае любого перехода, данное уширение называется естественным или собственным ушире-нием. Мы предварим обсуждение этого механизма уширения следующим замечанием. С помощью термодинамических сооб­ражений можно показать (см. раздел 2.4.3), что форма линии данного перехода будет одной и той же, независимо от того, наблюдаем ли мы форму линии поглощения (т. е. W_l2), вы­нужденного излучения (т. е. W₂\) или спонтанного излучения. В случае естественного уширения проще всего спектральную зависимость излучаемого света. К сожалению, как это станет яснее в разд. 2.3, спонтанное излучение есть

чисто т. е. оно может быть корректно опи-

сано только квантовой теорией электромагнитного излучения. Поскольку эта теория выходит за рамки книги, мы ограни­чимся тем, что выпишем окончательный результат и обос­нуем его некоторыми простыми физическими соображениями.

Квантовая теория излучения [12, 13] показывает, что спектр g(v—v₀) испускаемого излучения является лоренцевой функ­цией, выражение для которой можно получить из (2.59а), за­менив т_с на 2т_СПонт, где Тспонт = IIА— время затухания спон­танного излучения [см. (1.2)]. В частности, полная ширина ли­нии на половине высоты максимума дается выражением (см. рис. 2.6)

^Д*ест = "9~ • (2.67)

СПОИТ

Для подтверждения этого результата заметим, что, поскольку энергия, излучаемая атомом, затухает по закону ехр (—£/т_Спонт), се фурье-спектр занимает область частот ~ 1 Депонт. Для дока­зательства того, что линия имеет лоренцеву форму, можно при­менить эвристический подход, считая, что при спонтанном из­лучении электрическое поле уменьшается во времени по закону E(t)= ехр(—//2т_СПонт)со5 <оо£. В этом случае интенсивность из­лучения [которая пропорциональна <£²(/))J будет иметь пра­вильную зависимость от времени в виде ехр(—т/т_Сион_Т). Не­трудно вычислить спектральную мощность такого поля E(t) и убедиться, что форма линии является лоренцевой и что ее ши­рина дается выражением (2.67). Чтобы оценить Ду_ест по поряд­ку величины, заметим, что, как будет показано в разд. 2,3, для разрешенного электродипольного перехода в середине видимо­го диапазона т_СПонт по порядку величины равно 10 не Тогда из (2.67) получаем Av*_CT = 16 МГц.