7.5.3. Соотношение между временной когерентностью и монохроматичностью

Из рассмотрения, проведенного в предыдущих разделах, сле­дует с очевидностью, что понятие временной когерентности тес­но связано с монохроматичностью. Например, чем более моно­хроматической является волна, тем больше ее временная коге­рентность. Таким образом, время когерентности должно быть обратно пропорционально ширине полосы генерируемого излу­чения. В данном разделе мы обсудим это соотношение более

подробно.

Вначале заметим, что спектр электромагнитной волны, изме­ренный с помощью спектрометра, пропорционален спектральной функции (спектру мощности) W(r,m) сигнала V (г, t). Поскольку спектральная функция Нравна фурье-образу автокорреляцион­ной функции Г<*>, любая из этих величин может быть найдена, если известна другая. Для того чтобы получить точное соотно­шение, связывающее величины т_КОгер и Av_reH, необходимо пере­определить обе эти величины соответствующим образом. Таким образом, мы определяем Ткогер как среднеквадратичную ширину

функции |Г⁽¹⁾(т) |² так что (т_когер)² = \ (т— (т))²1 Г (т) fdil

₁₅

_{+00 "}^J _~°°

— оо

_{Г (т) fdx. В сокращенной записи это выражение можно за­писать следующим образом:}

_(wPF=((t-m

(7.33)

где среднее значение <т> определяется соотношением <т> =

^{= J т|Г(т)12^т^|Г(т)|2^т. Поскольку |Г(—т) |=|Г(т) |, из}

последнего соотношения имеем <т> = 0 и выражение (7.33) при­нимает вид

(^ткогср)² = (t²)- (7.34)

Такое определение времени когерентности умозрительно являет­ся более простым (хотя иногда и более трудным для вычисле­нии), чем то, которое мы дали выше [т. е. как полуширину на полувысоте кривой |Г(т) |; см. рис. 7.2]. Если бы кривая на

_Av

ген

ции

рис. 7.2 имела осциллирующий характер, то Ткогер» соответствую­щее первоначальному его определению, нельзя было бы вычис­лить однозначно. Аналогично определим ширину полосы генера-

^{как среднеквадратичную ширину функции W2(v).Ta-}

ким образом,

^(Av_rc^{„)2 = ((v-<v»2>;}

(7.35)

здесь <v> — средняя частота спектра, определяемая выражением <v)= \ vW²dxtf W²dv. Поскольку функции W и Г связаны

преобразованием Фурье, можно показать, что Av_re„ и т_Ко_гер в со­ответствии с определением, которое мы только что дали, удов­летворяют условию

* когер Av_reH > 1 /4гю. (7.36)

Это условие аналогично соотношению неопределенностей Гей-зенберга, и его можно доказать, используя тот же метод, что и при выводе соотношения неопределенностей [5]. Знак равенства в (7.36) имеет место в том случае, когда функции |Г^(,)(т) I и, сле­довательно, Щш) являются гауссовыми. Таким образом, рас­сматриваемый случай, очевидно, представляет собой аналог вол­нового пакета с минимальной неопределенностью [5].

7.5.4. Нестационарные пучки ■>

Рассмотрим здесь кратко нестационарные пучки. В этом слу­чае функция Г⁽¹⁾ в выражении (7.11) зависит по определению от моментов времени t\ и t₂, а не только от интервала между ними t = t\ — t₂. Примерами могут служить лазер с амплитудной мо­дуляцией, тепловой источник света с амплитудной модуляцией,

лазер с модулированной добротностью и лазер с синхрониза­цией мод. Корреляционную функцию для нестационарного пучка можно получить как среднее по ансамблю многих измерений аналитического сигнала на временном интервале 0 — Т, причем начало временного интервала синхронизовано с управляющим сигналом (например, синхронизовано с амплитудным модулято­ром лазера с синхронизацией мод или ячейкой Поккельса в ла­зере с модуляцией добротности). Степень временной когерент­ности в заданной точке г можно определить следующим обра­зом:

*Чь Щ1РШ. (7.37)

где t\ ш t₂ — Два данных момента времени на интервале 0 — Т и все сигналы измерены в точке г. Мы можем теперь утвер­ждать, что пучок обладает полной временной когерентностью,

¹¹ Автор хочет выразить признательность проф. В. Деджорджио за по­лезные обсуждения этого вопроса.

если I v⁽¹⁾(fi> /2) I =1 Для любых моментов времени t\ и h- Из этого определения следует, что нестационарный пучок без флук­туации амплитуды и фазы обладает полной временной когерент­ностью Действительно, в отсутствие флуктуации произведения V(t\)V*(t<i)y(ti)V*(ti) и V(t₂) V*lt2b выражении (7.37) не из­меняются при всех измерениях ансамбля. Таким образом, эти произведения равны соответствующим средним по ансамблю и выражение для y^il) (tufa) принимает вид

уЩ'и 4>^^_;1Ду_(/2)| * (7.38)

Из этого выражения следует, что |у⁽¹⁾|= 1. Согласно этому оп­ределению временной когерентности, время когерентности неста­ционарного пучка, например в случае лазера с синхронизацией мод, становится бесконечно большим, если нет флуктуации ам­плитуды и фазы пучка. Поэтому время когерентности нестацио­нарного пучка не связано обратно пропорциональной зависи­мостью с шириной полосы генерации. Однако если на практике мы коррелируем, например, в лазере с синхронизацией мод один импульс импульсной последовательности с некоторым другим, т. е. если мы выбираем интервал времени t₂ — больше, чем пе­риод повторения импульсов, то из-за флуктуации будет происхо­дить уменьшение корреляции. Это означает, что величина будет уменьшаться с увеличением интервала fa — t\ за преде­лами периода повторения импульсов. Таким образом, мы ожи­даем, что время когерентности должно быть конечным, хотя и не связанным обратнопропорциональной зависимостью с шириной полосы генерации, но в тоже время обратно пропорционально ширине полосы флуктуации.