7.5.2. Измерение пространственной и временной когерентностей

Весьма простым способом измерения степени пространствен­ной когерентности между двумя точками световой волны яв­ляется метод, в котором используется интерферометр Юнга (рис. 7.3). Этот интерферометр состоит из экрана 1, в котором имеются отверстия соответственно в точках Р\ и Ръ и экрана 2,

Световая Волна р,

в котором свет, прошедший через оба этих отверстия, создает интерференционную картину. Точнее говоря, интерференция в точке Р в момент времени t возникнет в результате суперпози­ции волн, испущенных из точек Pi и Р₂ соответственно в мо­менты времени ft— (Li/c)) и [t—{L₂/c)\. Следовательно, ин­терференционные полосы, наблюдаемые на экране 2 в окрестно­сти точки Р, будут тем отчетливее, чем лучше корреляция между двумя аналитическими сигналами световой волны V[t\, t— — (Li/c)] и V(t2_ft— {L^/c)], tj\q t\ и Г2 - координаты точек PI и P₂. Заметим, что время интегрирова­ния Т в выражении для корреляционной функции [см. (7.13)] теперь равно вре­мени регистрации полос (например, вре­мени экспозиции фотопластинки). Если теперь точку Р на экране выбрать та­ким образом, чтобы U = £_2} то видность полос в окрестности точки Р будет ме­рой степени пространственной когерент­ности между точками Р\ и Р₂, Чтобы быть более точными, определим вид­ность V(p\ полос в точке Р следующим образом:

Vipf— y

/макс - /мин . _{(? 20)}

мин

здесь /_Макс—максимальная интенсивность светлой полосы, а /мин — минимальная интенсивность темной полосы в окрестности точки Р. Если оба отверстия 1 и 2 дают одну и ту же освещен­ность в точке Р и если волна обладает полной пространственной когерентностью, то /_м,_ш = 0 и, следовательно, видность полос V(p) = 1. В случае когда сигналы в точках Р\ и Р₂ полностью некоррелированы (т. е. некогерентны), полосы исчезают (т. е. имеем /макс =/мин) и, таким образом, видность полос V(p) = 0. В соответствии со сказанным в разд. 7.5.1 становится очевид­ным, что величина V(p) должна быть связана с модулем функ­ции у⁽¹⁾(г_и г_2? 0). В более общем случае для любой точки Р на экране мы ожидаем, что величина VP связана с модулем функ­ции (^гь г₂, т), где т = (L₂— L\)/с. В конце этого раздела мы действительно убедимся в том, что если два отверстия дают одну и ту же освещенность в точке Р, то

V(p) (т) = | y^{I)(Г], г₂, т) |.

(7.21)

Таким образом, измерение видности интерференционных полос У(Я) в точке Р, такой, что L\ = 1₂, позволяет получить степень пространственной когерентности между точками Pi и Р₂.

Интерферометр Майкельсона (рис. 7.4) дает очень простой метод измерения временной когерентности. Пусть в некоторой точке Р требуется измерить временную когерентность волны. Оптическая система, состоящая из экрана с небольшим отвер­стием в точке Р и линзы, главный фокус которой совпадает с точкой Р, позволяет преобразовать падающую волну в пло­скую (см. также рис. 7.9). Эта волна затем падает на частично

Сзетазал волна

_а

	ч	A s,
\ У / / '* J ' X / / / 1 - / ' 1. j • ' / • /		L Л'Т/У///
г*- - \
		*1

/с

Рис. 7.4. а — интерферометр Майкельсона для измерения степени временной когерентности электромагнитной волны в точке Р; 0 - зависимость интен­сивности света, выходящего в направлении распространения волны С, от разности U—L₂ между длинами плеч интерферометра.

отражающее зеркало Si (с коэффициентом отражения R = =50 %), которое расщепляет ее на две волны Л и В. Эти волны отражаются назад зеркалами S₂ и S₃ (R — 1) и затем склады­ваются, образуя волну С. Поскольку волны Л и В интерфери­руют, освещенность в направлении распространения волны С будет либо больше, либо меньше в зависимости от того, четному или нечетному числу полуволн равна величина 2(L₃ — L₂)< Оче­видно, такая интерференция будет наблюдаться только до тех пор, пока разность L₃ — L₂ не станет настолько большой, что два пучка А я В окажутся некоррелированными по фазе. Таким об­разом, для частично когерентной волны зависимость интенсив­ности /, волны Сот величины 2(L,-L₂) имеет вид, показан­ный на рис. 7.4, б. В этом случае мы можем снова определить видность интерференционных полос V_{P)(%) с помощью выраже­ния (7.20) для некоторого данного значения разности L₃ — L₂ между длинами плеч интерферометра, т. е. для данного значе­ния задержки т = 2(£₃— L₂)/смежду двумя отраженными вол­нами, причем значения /макс и /_МИн определяются в соответствии с рис. 7*4, б. Точно так же, как и в случае интерферометра Юнга, можно показать, что

^{|уШ(г, г, т) | — V(p) (т),}

(7.22)

где г — координата точки Р. Следовательно, теперь измерение видности интерференционных полос позволяет получить степень временной когерентности волны в точке Р. Если функция известна, то можно найти время когерентности т_Когер и, следова­тельно, длину когерентности Ь_с = й>т_Когер. Заметим, что вели­чина равна удвоенной разности Lz — L₂ между длинами плеч интерферометра, при которой значение видности спадает до зна­чения V(P) = 1/2.

Мы закончим этот раздел доказательством соотношения (7.21), что также может послужить в качестве упражнения на применение аналитического сигнала. Аналогичные соображения можно применить и для доказательства соотношения (7.22). Обозначим через V {?) аналитический сигнал в точке Р, пока­занной на рис. 7.3, в момент времени V. Поскольку он обуслов­лен суперпозицией сигналов, пришедших из каждого отверстия (см. рис. 7.3), его можно записать в виде

_{V=KiV (г„ *' - /,) + KaV(r2, t' -t2),}

(7.23)

где h=L_x/c, t₂^L₂/c. Множители K\ и Кг обратно пропорцио­нальны расстояниям Ц и L₂ и, кроме того, зависят от размеров отверстий и угла между падающей волной и волной, дифраги­рованной на отверстиях />, и Р₂. Поскольку дифрагированные вторичные волны отстают по фазе на четверть периода относи­тельно падающей волны [3, с. 370—375] (см. также обсуждение

волн Гюйгенса в разд. 4,4.2), отсюда следует, что

K[—\Kt\ ехр (— Ы/2), /С₂ = f /С₂1 ехр (— /л/2).

(7.24а) (7.246)

_{Если теперь определить величины /—t'—U и т = t2— tu то}

выражение (7.23) можно записать в виде

V=*K_xV(r_u I + т) + K₂V (r₂, I).

(7.25)

Таким образом, интенсивность в точке Р дается выражением / = VV4j (t + т) + /₂ (0 + 2 Re [K_xIC₂V(r_v / + %) V* (г₂, <)],

(7.26)

где h и /₂ — интенсивности в точке Р, первая из которых обус­ловлена излучением только из точки Р_ь а вторая — излучением только из точки Р₂. Эти интенсивности записываются следую­щим образом:

1\—\К\ П v[(Tu t + x)^\K₁fI{r_l,l + r), h = IK₂ PO Vjr₂, 0P=|/C₂p/(r₂, /);

(7.27a) (7.276)

здесь 1(т\, t + т) и 7(r₂, t) —интенсивности соответственно в точ­ках Pi и Р2. Усредняя обе части выражения (7.26) по времени и используя (7.16а), находим

Здесь мы использовали также выражения (7.24). Выражение (7.28) можно записать через комплексную степень когерентно­сти у⁽¹⁾г сели заметить, что из соотношения (7.17) следует

_{ГО = Y}^(I) _{К/ (гь t + т)></ (г2, t))f\}

_(7.29)

Подставляя это выражение в предыдущие и используя (7.27), получаем

(/) = (/₍)-|-</₂)-f 2((/_t)(/₂))^I/2Re|yⁱ⁾(i"i> r₂, т* ¹ =

= </i> + ('2) + 2({1_{)(1₂))^Щ1 Y⁽¹⁾ I cos tf (т) - <о>)т], (7.30)

(7.31 а) (7.316)

где мы использовали также соотношение (7.18). Поскольку как |Y⁽¹⁾|, так и ф(%) являются медленноменяющимися функциями, изменение интенсивности </> в зависимости от положения точ­ки Р определяется быстрым изменением члена, содержащего ко­синус с аргументом <й>>т. Таким образом, в окрестности точки Р мы имеем

'макс = (1\)+ ('г>+ 2«/i)(/₂»^1/2| Y^(l) I, /«„„ =</.Ж'₂> - 2 (</,Х/₂>)^1/2| Y⁽⁰1,

и, следовательно, из выражения (7.17) получаем

У с) </,) + </,) ^{1 у (г}'- ^Гг-^т>

(7.32)

В случае когда </i> = </2>, выражение (7.32) сводится к (7.21).