7.5. Когерентность первого порядка [3]

В гл. 1 понятие когерентности электромагнитной волны мы дали, исходя из интуитивных соображений, причем были выде­лены два типа когерентности — пространственная и временная. В данном разделе мы намереваемся более подробно рассмотреть эти типы когерентности. В действительности, как мы увидим в конце данной главы, пространственная и временная когерентно­сти описывают когерентные свойства электромагнитной волны лишь в первом порядке.

7.5.1. Степень пространственной и временной когерентности

Для того чтобы описать свойства пучка, определим для ана­литического сигнала полный класс корреляционных функций. Однако ограничимся пока рассмотрением функций первого по­рядка.

(7.11)

в следующих двух разделах мы будем рассма-

Предположим, что измерения аналитического сигнала прово­дят в некоторой точке Т[ на временном интервале 0 — Т. При этом можно получить произведение К(г_ь t\) V*(ri, /2)» где t\ и t%— данные моменты времени в пределах временного интервала О — Г. Если теперь эти измерения повторить большое число раз, то можно рассчитать среднее значение упомянутого произведе­ния по всем измерениям. Это среднее значение называется сред­ним по ансамблю и записывается в виде

ГО)(г„ r„ t_uti = {V(r_lt *,)Г(г„ *₂)>.

В этом, а также тривать ситуацию со стационарным пучком^!), которая, напри­мер, имеет место либо в лазере, генерирующем в непрерывном режиме одномодовое или многомодовое излучение, которое не синхронизовано по фазе, либо в тепловом источнике света, рабо­тающем в непрерывном режиме. В этих случаях по определе­нию среднее по ансамблю будет зависеть только от интервала

^!> Процесс называется стационарным, если среднее по ансамблю лю­бой переменной, которая описывает этот процесс (например, аналитический сигнал или интенсивность пучка, как в нашем случае), не зависит от вре­мени.

между моментами времени Т = t\ — t_2f а не от конкретных мо­ментов времени t\ и t₂. При этом мы имеем

^{IW(r„ г„ t}_lf ^t₂^{) = rcu(r}_b ^r_lf ^{т) — <V(r}_lf ^{t + т) V* (г,, 0); (7Л2)}

здесь мы предположили, что t = i₂ и величина Г^<!) зависит лишь от т. Если аналитический сигнал является не только стационар­ным, но и эргодическим (условие, которое также обычно выпол­няется в приведенных выше случаях), то по определению сред­нее по ансамблю будет также и средним по времени. При этом можно написать следующее выражение:

Г

Г⁽¹⁾(гь г„ т) = Пт у ^с V (п, / + т) V*(г_ь t)dt. (7.13)

Заметим, что легче иметь дело, возможно, с определением вели­чины Г^(1> через среднее по времени, чем через среднее по ансам­блю. Однако определение Г<¹> через среднее по ансамблю яв­ляется более общим и, как мы увидим в разд. 7.5.4, с помощью выражения (7Л1) его можно применить к нестационарным пуч­кам.

Определив корреляционную функцию первого порядка Г^(1} в данной точке г_ь можно определить нормированную функцию

следующим образом:

₍¹_{) =} ^{(V (гь t + т) у (гь 0) ,}_{? и)}

(V (г_ь 0 V* (г,, ф " (V (г_ь t + т) V* (г_ь * + т))^1/2 '

Заметим, что в случае стационарного пучка в знаменателе вы- ражения (7.14) два средних по ансамблю равны друг другу и в соответствии с (7.7) каждое из них равно средней интенсив- ности пучка </(Гь t)}. функция у(^{\ определенная выражением (7.14), называется комплексной степенью временной когерент- ности, в то время как ее модуль | у⁽¹⁾| — степенью временной ко- герентности. Действительно, представляет собой степень кор- реляции между аналитическими сигналами в некоторой точке т_х пространства для двух моментов времени, разделенных интерва- лом т. Функция имеет следующие главные свойства:

1) в соответствии с выражением (7.14) у<¹> =1 при т = 0;

2) y⁽¹⁾ (^ri> ^ri> — т) = у^(|)*(^гь г_ь t), что нетрудно показать из (7.14) с учетом соотношения (7.5); 3) |y⁰⁾(»*i, г_ьТ) I ^1,что

следует из применения неравенства Буняковского - Шварца к

выражению (7Л4).

Теперь мы можем сказать, что если = 1 при любых

^{значениях т, то пучок имеет полную временную когерентность.}

Для пучка непрерывного излучения это по существу означает» что флуктуации как амплитуды, так и фазы равны нулю и сиг­

нал имеет вид синусоидальной волны, т. е. V=£(r,)exp(—не­действительно, подстановка этого выражения в (7.14) показы­вает, что в этом случае |₇⁽¹>| =1. Противоположный случай полного отсутствия временной когерентности наблюдается, ког­да <V(r,, *+т) V(r_u /)> и, следовательно, функция _Y⁽¹⁾ обра­щаются в нуль при т > 0. Такая ситуация должна иметь место для теплового источника света с очень большой шириной по­лосы излучения (например, для черного тела; см. рис. 2.3). В бо­лее реалистичных ситуа­циях функция ЫЧ обыч­но уменьшается с ростом

интервала т, как показа­но на рис. 7.2 (заметим,

что, согласно упомянуто­му выше второму свой­ству, I v^cl) I является сим­метричной функцией па­раметра т). Таким обра­зом, можно определить характерное время т_Коге_Р (называв временем ко­герентности) так igff,

за которое величина Y⁽¹⁾ уменьшается вдвое, т. е.

_Y^(l_{> | = 1/2. Очевидно, для}

полностью когерентной волны в то время как для

полностью некогерентной волны w._P = 0. Заметим, что можно также определить длину временной когерентности L_Cj как L_c =

—- СТкогер*

Аналогичным образом можно определить корреляционную функцию первого порядка между двумя различными точками г, и г₂ в один и тот же момент времени:

_т

Г<'>(П. r₂, 0) = (K(r„ t)V(r₂, 0)= Hm -г Uyr(r_k t)dt.

Можно также определить функцию у⁽¹⁾0"1,г₂₎ 0):

_{{V (tut) V* (г,.0>}

(7.15)

соответствующую нормированную

(V(r_ltt) F'(r„ t))^Xli{V (r_2l t) V* (г_г, t))^iri

(7.16)

.(1)

_этом

_в

^случае

_{Величина Y}^(l)_{(ri, r8t 0) "называется комплексной степенью про­странственной когерентности, а ее модуль — степенью простран-}

ственной когерентности. Действительно, представляет собой меру корреляции между аналитическими сигналами в двух точках пространства Г\ и г₂ в одни и тот же момент времени: Заметим, что из неравенства Буняковского — Шварца следует |y⁽¹⁾I^ !• Волна обладает полной пространст- венной когерентностью, если |₇<»| = 1 для любых двух точек 1*1 и г₂ (при условии что они лежат на том же самом волновом фронте или на волновых фронтах, расстояние между которыми много меньше, чем длина когерентности Ц). Однако' чаще имеет место ситуация, характеризуемая частичной пространственной когерентностью. Это означает, что если координата ri фиксиро- вана, то с увеличением разности |г₂ — г Л величина как функция координаты г₂ уменьшается от 1 (значения, которого она достигает при т₂ —Г\) до 0. Таким образом, значение может быть больше какого-то данного значения (например, 1/2) в пределах некоторой характерной области на волновом фронте вблизи точки Р_и заданной вектором г_ь Назовем эту область об- ластью когерентности волны в точке Р\ волнового фронта.

Понятия пространственной и временной когерентностей мож­но объединить посредством взаимной функции когерентности,

определяемой следующим образом:

П¹> (г,, г₂, т) =(V(r_ltt + т) V* (г₂, /)), (7.16а)

которую можно также записать в нормированном виде: ,.(»/_ _ _ч (V (T,,t+ т) у* (г₂, О)

^{Г r2> V — ,у . ;)у«(}_{г t}^\\U2Jy(_r ^{t)V*'(r—0)^*}

Эта функция, называемая комплексной степенью когерентности, является мерой когерентности между двумя различными точ­ками волны в разные моменты времени. Для квазимонохрома­тической волны из выражений (7.5) и (7.14) следует, что

_Y(U (т) = | у» | ехр"{* [ф (т) - (со) т]}, (7.18)

где |v⁽⁰1 и ф(т)— медленноменяющиеся функции, т. е.

Г f^, , I — 11 < (со). (7.19)

L I у ' I dx I rfx | J