2.3. Поглощение и вынужденное излучение

В этом разделе мы изучим некоторые особенности процессов поглощения и вынужденного излучения, происходящих в двух­уровневой атомной системе иод действием монохроматической электромагнитной волны, В частности, в нашу задачу будут входить; 1) вычисление вероятностей поглощения W\ ₂ н вы­нужденного излучения когда W\2 и W₂1 определяются вы­ражениями (1.5) и (1.3) соответственно; 2) введение и расчет сечений поглощения и излучения [см. формулы (1.4) и (1.6)]; 3) определение двух новых параметров—коэффициента погло­щения и коэффициента усиления, которые во многих случаях могут быть непосредственно измерены с помощью простых экс­периментов,

2,3.1. Вероятности поглощения и вынужденного излучения

Ради простоты мы не будем здесь подробно рассматривать

расчет вероятности перехода, который дается в Приложении А. Поэтому здесь мы ограничимся лишь описанием главных моментов математических вычислений и об­суждением основных физических явлений, которые имеют место. Затем мы сформулируем конечный результат и обсудим его фи­зический смысл.

При вычислениях мы будем использовать так называемый полуклассический подход, при котором атомная система пред­полагается квантованной (и поэтому описывается с помощью квантовой механики), а электромагнитное поле падающей вол­ны описывается классически (т. е. с помощью уравнений Мак­свелла). Таким образом, мы считаем, что атомная система име­ет два энергетических уровня ,£\ и £2 и что соответствующие волновые функции записываются в виде

(_г, I) =щ (г) ехр [-i(EJb) t], 1|з₂(г, t) = u₂ (r) exp [- i (Ез/П) /].

(2.23а) (2.236)

При этом частота перехода соо между уровнями дается выра­жением

(o₀ = (E_a — E_l)lh, (2.24)

где /г = /</2л. Полагая падающую электромагнитную вол ну мо­нохроматической, электрическое поле Е в точке, где находится атом, можно записать в виде

_{Е = En sin at.}

(2.25)

Кроме того, предположим^ что частота электромагнитной вол­ны о) близка к резонансной частоте перехода со о.

В результате взаимодействия с электромагнитной волной атом приобретает дополнительную энергию В последующем изложении мы будем считать, что энергия Я' обусловлена взаи­модействием электрического дипольного момента атома с элект­рическим полем Е электромагнитной волны (электродипольное взаимодействие). Рассмотрим теперь электрон в атоме, ответст­венный за данный переход 1-^2, и пусть г есть радиус-вектор этого электрона относительно атомного ядра. В классическом случае электрический дипольный момент, соответствующий дан­ному радиус-вектору г, равен просто ц — er_t где е — заряд электрона (с соответствующим знаком). При этом энергия взаимодействия Н' с внешним электрическим полем запишется в виде

#' (О = \% • Е = ег • Е₀ sin (О/. (2.26)

В подходе эта синусоидальная во вре-

мени энергия взаимодействия рассматривается как синусои­дальный во времени гамильтониан взаимодействия Ж(1), кото­рый затем вводится в нестационарное уравнение Шрёдингера. Поскольку со « ио, этот гамильтониан взаимодействия приво­дит к переходу между двумя уровнями атома. Прежде чем получить окончательный результат, сделаем еще три предполо­жения: 1) длина волны падающего излучения много больше размеров атома (электродипольное приближение); 2) волна взаимодействует с атомом в течение очень длительного времени; 3) вероятность перехода мала, так что можно пользоваться ме­тодами теории возмущений (нестационарной теорией возмуще­ний), С учетом всех этих предположений окончательное выра­жение для вероятности поглощения запишется в виде

W —(л;²/3/г²)1 n_2[plEZb(w—v₀), (2.27)

где v = и/2я, vo = ©₀/2я, 6 — дельта-функция Дирака, а и₂₁ — абсолютная величина комплексного вектора

jli_2I = $ и\ет_х dv, (2.28)

где и\ и и2 ~ стационарные собственные функции обоих состоя­ний [см. (2.23) ], а интегрирование производится по всему объе­му атома. Вектор p,2i называют матричным элементом опера­тора электрического дипольного момента или, проще, элек

^{трическим дипольным моментом атома.}

Чтобы лучше представить себе физическую картину проис­ходящего, рассмотрим атом, который в момент времени t=0 находится в основном состоянии. При этом его волновая функ­ция равна t|) = t|?i(r, t) и описывается выражением (2.23а). При t > 0, когда атом совершает переход 1 2, ш> волновая функ­ция может быть представлена в виде соответствующей комби­нации волновых функций двух состояний, т, е.

ф =a_{(t) *ф_А +a₂(t)^₂f (2.29)

где а\ и й2 — комплексные числа, зависящие от времени. Сле­дует заметить, что, согласно квантовой механике, величины \й\\² и )а₂|² представляют собой вероятности того, что в мо­мент времени t атом будет обнаружен в состояниях I и 2 соот­ветственно. Эти величины удовлетворяют соотношению

I«il² + l02p=l. (2.30)

Поскольку электрический момент атома дается вы-

ражением

M = ^e\ty\²rdV, (2,31)

подстановка (2.29) в (2.31) с учетом (2.23) дает

+ \ет а<ам ехр ш</ + а*а₂а*#₂ ехр — *©₀/ rfV; (2.32)

здесь знак * обозначает комплексное сопряжение и о>о = = (£₂—E\)/h. Из выражения (2.32) следует, что в М входит осциллирующий с частотой со₀ член М_2Ь который можно запи­сать в виде

M_2l = Re [(expty/) 2^^,], (2.33)

где мы использовали соотношение (2.28) и где Re обозначает действительную часть. Мы видим, что во время перехода атом можно рассматривать как электрический диполь, осциллирую­щий с частотой а о, амплитуда которого пропорциональна век­тору р2ь определяемому выражением (2.28). Теперь становится ясным, почему |i2i называется электрическим дипольным момен­том атома, поскольку переход обусловлен взаимодействием именно этого дипольного момента с электрическим полем E(t). Действительно, момент М21 порождается электрическим полем Е(/) и задача на данном этапе очень похожа на задачу о клас­сическом дипольном моменте, осциллирующем под воздействием внешнего поля. Поэтому не удивительно, что вероятность W21

оказывается пропорциональной квадрату абсолютного значения

электрического дипольного момента, умноженному на квадрат _{амплитуды электрического поля. Однако наличие в выражении}

(2.27) дельта-функции Дирака б приводит к физически бес­смысленному результату/что W_2l=0 при v^v₀ и W_l2=oo, когда v = vo, т. е. когда частота электромагнитной волны в точ­ности совпадает с частотой атомного перехода. Этот нефизиче­ский результат можно объяснить, если вернуться обратно к до­пущению о том, что взаимодействие электромагнитной волны с

атомом может оставаться в течение длительного времени невоз­мущенным. Действительно, с классической точки зрения, если электрическое поле с частотой v возбуждает (без потерь) ос­циллирующий с частотой v₀ дипольный момент, то взаимодей­ствие может иметь место только при vo = v. На самом деле существует целый ряд физических явлений (таких, как столкно­вения между атомами), которые препятствуют этому взаимо­действию оставаться невозмущенным неограниченное время.

Это эквивалентно утверждению, что осциллирующий электриче­ский дипольный момент должен иметь потери. Хотя этим явле­ниям мы уделим некоторое внимание в следующем разделе, об­щий результат, к которому они приводят, можно сформулиро­вать очень просто: уравнение (2.27) справедливо при условии,

что дельта-функция Дирака 6 [центрированная в точке v = = v₀— бесконечно острая функция с единичной площадью, т. е.

такая, что ^ 6(v — v₀)rfv= 1] заменена на другую функцию

которая тоже центрирована в точке и имеет

единичную площадь [т. е. \g*(v — v₀)dv = 1], но теперь уже

с конечной спектральной шириной. Форма функции gt и ее ши­рина будут определяться конкретным механизмом уширсни-я, который имеет место. Таким образом, для W_l2 можно написать выражение

(2.34)

Его можно переписать в более удобном виде через плотность энергии р падающей электромагнитной волны, которая дается выражением

p = fi\E|/2, (2.35)

где показатель в которой находится

атом, и постоянная. Таким образом, ис-

пользуя выражения (2.34) и (2.35), находим

2п²

^(2.36)

здесь мы положили Av = v — vo. В случае плоской электромаг­нитной волны иногда бывает полезно выразить W[2 через ин­тенсивность падающего излучения. Поскольку / = Сор/п, где Со — скорость света в вакууме, из выражения (2,36) имеем

W_l2= _Эдд^ _Ai I Ц₂₁1² Ig_t (Av). (2.37)

Выражения (2,36) и (2.37) для вероятности поглощения весьма часто применяются на практике. Следует заметить также, что выражение (2.27), очевидно, можно записать через плотность энергии волны в ' виде, который пригодится нам в дальнейшем:

2я²

(2.36a)

Наконец, необходимо заметить, что в случае вынужденного из­лучения вероятность перехода W₂i получается из (2,36) и (2.37) путем замены p2i на рш т. е. путем перестановки индексов 1

и 2 в (2,28). Однако поскольку из (2.28) видно, что ц₁₂ имеем и, следовательно,

21»

_мы

Отсюда мы видим, что вероятности поглощения и вынужден­ного излучения равны друг другу. Поэтому в дальнейшем, если нет необходимости в установлении различия между этими про­цессами, будем полагать W = W₂\ = W\₂ и I u = Ipi2| = |u2i|-

Выражения (2.36) и (2.37) принимают соответственно вид

_W

Зп

2я²

tO

/4 \

(2.39) (2.40)

Эти выражения и представляют собой окончательный результат

_наших

_{вычислений}

^{в данном разделе}

ⁱ⁾ Следует заметить, что все приведенные до сих пор выражения полу­чены в предположении, что воздействующее па атом локальное (микроско­пическое) поле Е_Лок (г, /) равно полному (среднему) нолю E(r, t). Посколь­ку это может иметь место только для разреженных сред, в случае плотных сред необходимо ввести соответствующую поправку (лоренцев поправочный коэффициент локального поля). Можно показать, что Е,_юк = [(«² + 2)/3]Е, где п — показатель преломления среды, обусловленный всеми переходами, за исключением изучаемого перехода. Если в (2.39) вместо Е подставить Е_Лок, то мы увидим, что все ранее полученные выражения, в которые входит ве­роятность перехода W, остаются справедливыми при условии, что мы заме-

ним U121I² на [0?₂+ 2)/3]²M2i|² [18]. Следовательно, во все последующие выражения, относящиеся к вынужденным переходам [например. (2.83) и (2.87)], необходимо внести некоторую поправку. Вполне возможно, что в

2.3.2. Разрешенные и запрещенные переходы

Из выражения (2.39) следует, что W = О, если |ц| = 0. Это имеет место, например, когда обе собственные функции и_х и и₂ являются одновременно либо симметричными, либо антисиммет­ричными ^1>. Действительно, в этом случае вклады от подынтег­рального выражения в (2.28) в точках соответственно г и —г равны но величине, но имеют противоположные знаки. Следо­вательно, нам интересно знать, при каких условиях волновые функции и (г) будут либо симметричными, либо антисимметрич­ными. Это имеет место в случае, когда гамильтониан системы З^о (г) не меняется при замене г на —г, т. е. когда ²⁾

_{аг0.(г)=ам-г).}

(2.41)

Действительно, в этом случае для любой собственной функции и_п (г) справедливо равенство

(г) Щ (г) = Е_пи;{г)

и замена г на —г с учетом (2.41) дает

_{(г) «Л—» =} ^£_{«"Л—.г).}

(2.42)

(2.43)

Равенства (2.42) и (2.43) показывают, что как и„(г), так и «_я(—г) являются собственными функциями оператора Я?₀(г) с одним и тем же собственным значением Е_п. Хорошо известно [3], что для невырожденных уровней энергии (не считая произ­вольного выбора знака) каждому собственному значению соот­ветствует только одна собственная функция, т. е.

и_п (- г) = ± и_п (г). (2.44)

аналогичной поправке нуждается и выражение для вероятности спонтанного излучения [(2.110)], но автору не известны какие-либо работы по спонтан­ному излучению, которых этот вопрос был бы подробно рассмотрен. Ши­роко применяемые соотношения между сечением перехода а и временем Тспоит [(2.116) и (2.117)1 останутся (возможно) справедливыми, поскольку они являются просто переформулировкой отношения А/В [см. (2.107)], кото­рое получено из соображений термодинамики.

*> Напомним, что функция f(r) является симметричной (или четной), если /(—г) = /(г), и антисимметричной, если /(—г) = —/(г).

" Если гамильтониан Ж, является функцией более чём одной коорди­наты Гь Г2, то операцию инверсии следует произвести для всех этих координат одновременно.

Следовательно, если гамильтониан (г) является симметрич­ным, то его собственные функции должны быть либо симмет­ричными, либо антисимметричными. В этом случае обычно го­ворят, что собственные функции имеют определенную четность.

Остается теперь выяснить, в каких случаях гамильтониан удовлетворяет условию (2.41), т. е. инвариантен относительно операции инверсии. Очевидно, это имеет место для системы с центром инверсии. Другим важным случаем является изолиро­ванный атом. В этом случае потенциальная энергия &-го элект­рона равна сумме потенциальной энергии взаимодействия с яд­ром (которая описывается симметричной функцией) и энергии взаимодействия со всеми остальными электронами. Для i-го электрона эта энергия зависит от J г*—Га|, т. е. от расстояния между двумя электронами. Следовательно, соответствующие члены будут также инвариантными относительно инверсии. Важным случаем, когда (2.41) не выполняется, является слу­чай, когда атом находится во внешнем электрическом поле (на­пример, в электрическом поле кристалла), не обладающем центром инверсии. В этом случае волновые функции не имеют определенной четности.

Подводя итог, можно сказать, что электродипольные перехо­ды происходят только между состояниями с противоположной четностью и что состояния имеют определенную четность в том случае, когда гамильтониан системы инвариантен относительно инверсии.

Если W = 0, то соответствующий переход называется запре­щенным в электродипольном приближении. Однако это не оз­начает, что атом не может совершить переход с уровня 1 на

уровень 2 под действием падающей электромагнитной волны.

В этом случае переход может произойти, например, в резуль­тате взаимодействия между магнитным полем волны и магнит­ным дипольным моментом атома. Ради простоты мы не будем

в дальнейшем подробно рассматривать этот случай (магнито-дипольное взаимодействие), а ограничимся лишь тем наблюде­нием, что анализ в этом случае аналогичен проделанному при выводе выражения (2.37). Отметим также, что магнитодиполь-ные переходы разрешены между состояниями с одинаковой четностью (между двумя четными или двумя нечетными состоя­ниями). Следовательно, переход, который запрещен в приближе­нии электродипольного взаимодействия, разрешен в приближении магнитодипольного, и наоборот. Полезно также вычислить порядок величины отношения вероятности электродиполь­ного перехода W_e к вероятности магнитодипольного перехода W_rn. Ясно, что расчет относится к двум различным переходам, один из которых разрешен при электродипольном, а другой — при магнитодипольном взаимодействии. Предположим также, что интенсивность электромагнитной волны одна и та же в обо­их случаях. Для разрешенного дипольного перехода в соответ­ствии с (2.34) можно написать, что W_e ~ {[i_eE_Q)² ~ (еаЕ₀)²₎ где £о — амплитуда электрического поля и электрический ди-польный момент атома р_е приближенно выражается (для раз­решенного перехода) произведением заряда электрона е на ра­диус атома а. Аналогичным образом можно показать, что W_m~ (\i_mBo)² ж (рВ₀)², где Во — амплитуда магнитного поля волны и где магнитный дипольный момент атома р_ш прибли­женно выражается (для разрешенного перехода) через магне­тон Бора р (Р - 9,27- 10"²⁴ А-м²). Таким образом,

_{Wa \ ( еаЕ0 V {вас V}

(2.45)

Для получения этого численного результата мы использовали тот факт, что для плоской волны Ео — В₀с (где с — скорость света), и предположили, что а ж 0,5 А. Мы видим, что вероят­ность электродипольного перехода много больше вероятности магнитодипольного. Это, по существу, обусловлено тем, что энергия электродипольного взаимодействия (p_e£o) намного превосходит энергию магнитодипольного взаимодействия