2.12. Преобразование векторов при поворотах системы координат

Пусть и - две различных декартовых системы координат с осями , , и , , . Проекции вектора на координатные оси этих систем, вообще говоря, различны. Будем обозначать их и .

Пусть оси , , параллельны соответственно осям , , , но начала и систем и не совпадают. Система при этом является "сдвигом" или "параллельным переносом" системы с сохранением направления координатных осей. В этом случае, очевидно, проекции вектора на одноименные оси равны:

. (2.57)

Равенства (2.57) иллюстрируются на рисунке 2.8 для случая, когда вектор лежит в плоскости , совпадающей с плоскостью .

Рис. 2.8.

Пусть начала и систем и совпадают, но одноименные оси этих систем непараллельны и образуют друг с другом некоторые углы (между осями и ), (между и ) и (между и ). В этом случае равенства (2.57) не имеют места. Однако можно выразить проекции вектора в системе через его проекции в системе , причем связи между проекциями оказываются линейными:

(2.57)

где - коэффициенты, универсальные (одинаковые для всех векторов) и выражающиеся через углы , , поворота осей. О формулах (2.57) говорят как о преобразовании компонент (проекций) вектора при повороте системы координат. Аналогично выглядят преобразования, выражающие , и через , , .

Рис. 2.9.

Рассмотрим в качестве примера, как преобразуются компоненты радиуса-вектора точки при повороте системы координат вокруг оси . При этом , и угол равен нулю, а угол между осями , равен углу между осями , , рис. 2.9.

Имеем:

где - длина проекции вектора на плоскость , .

Из этих соотношений находим:

(2.58)

Формулы (2.58) выражают координаты , , точки в "повернутой" системе координат через координаты , , этой точки в системе .

Из (2.58) можно выразить , , через , , :

(2.59)

Преобразования (2.59), называемые обратными преобразованиями по отношению к (2.58), можно получить из (2.58) также заменой . Действительно, систему можно рассматривать как повернутую вокруг оси на угол относительно системы .

Длина вектора не меняется как при сдвиге, так и при повороте системы координат:

. (2.60)

Об этом факте говорят как об инвариантности длины вектора по отношению к поворотам или переносам системы координат.

2.13. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть - функция, зависящая от нескольких независимых переменных . Для такой функции вводится понятие частной производной по одной из переменных, например, по переменной . Эта производная обозначается и вычисляется по обычным правилам, при этом все остальные независимые переменные считаются фиксированными и рассматриваются как постоянные.

Пример 2.21. Найти частные производные функции двух переменных . Вычисляя производную по считаем, что . Получим: . Аналогично находим: .

Дифференциал функции нескольких переменных определяется выражением:

, (2.61)

где , , - дифференциалы (приращения) независимых переменных. Можно показать, что приращение функции, равное , стремится к ее дифференциалу, если , то есть если приращения независимых переменных стремятся к нулю.