2.10. Скалярное и векторное произведения векторов
Скалярным
произведением
двух векторов
и
называется число, обозначаемое обычно
или
,
образуемое следующим способом:
. (2.47)
Учитывая определение длины вектора и используя (2.47), имеем:
,
то есть длина вектора равна корню квадратному из скалярного произведения этого вектора на себя.
Можно показать, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:
. (2.48)
Скалярное произведение векторов, перпендикулярных друг к другу, равно нулю.
Из (2.48) имеем:
. (2.49)
Зная проекции векторов и на координатные оси, можно по формулам (2.47), (2.49) найти угол между ними.
Пример
2.19. Найдем
косинус угла между векторами
и
.
Имеем с учетом (2.49), (2.47):
.
С учетом (2.48) можно записать (2.46) в виде:
. (2.50)
Вектор
направлен параллельно вектору
и является единичным,
.
С помощью формулы (2.50) можно вычислять
проекцию одного вектора на направление
другого вектора.
Пример
2.20. Вычислим
проекцию вектора
на направление вектора
.
Имеем:
.
Как и произведение чисел, скалярное произведение векторов удовлетворяет условиям:
.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый
и образуемый по следующему правилу:
. (2.51)
Проекции
,
,
вектора
,
которые являются множителями при ортах
,
,
соответственно, могут быть получены
путем представления определителя 3-го
порядка через определители второго
порядка:
.
Можно показать, что длина вектора связана с длинами векторов и формулой:
,
где - угол между векторами и . Отсюда следует, что векторное произведение двух параллельных или антипараллельных векторов равно нулю.
Рис. 2.7.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
.
Для векторно-скалярного (смешанного) произведения векторов , , и имеют место соотношения:
.
Двойное векторное произведение векторов , и равно:
. (2.52)
Упражнения.
1.
Вычислить скалярное произведение
векторов
и
.
Ответ:
28.
2.
Вычислить векторное произведение
тех же векторов.
Ответ:
.
3.
Вычислить смешанное произведение
,
,
,
.
Ответ: -1.
4.
Вычислить двойное векторное произведение
тех же векторов.
Ответ: 0.
2.11. Применение операций математического анализа к векторным функциям
Пусть вектор является функцией переменной :
. (2.53)
Придадим аргументу
приращение
.
Вектор
при этом получит приращение
.
(2.54)
Как и в случае скалярной функции, производная векторной функции равна пределу:
.
Подставляя (2.54) в последнее равенство, получим:
.
Таким образом, нахождение производной вектора сводится к дифференцированию его проекций.
Дифференциал вектора, как и скалярной функции, равен:
.
Применим операцию интегрирования к левой и правой частям (2.53). Орты являются постоянными векторами, не зависящими от , и их можно вынести за знак интеграла. Получим:
.
Таким образом, интегрирование вектора сводится к интегрированию его проекций.
Скалярное и векторное произведения векторов дифференцируются по тем же правилам, что и обычное произведение функций:
, (2.55)
. (2.56)
Последние равенства нетрудно проверить, воспользовавшись определениями (2.47) и (2.51) скалярного и векторного произведений.
Упражнение.
Вычислить производную вектора
.
Ответ:
.