2.8. Формула Тейлора

В математическом анализе показывается, что для функции , имеющей все производные до -го порядка включительно на некотором интервале, содержащем точку , справедлива формула Тейлора:

, (2.43)

где - так называемый остаточный член, который при является бесконечно малой величиной порядка относительно разности , .

Например, при получим из (2.43), положив :

.

Упражнение. Показать, что .

Указание. Применить формулу Тейлора при к функции .

2.9. Скаляры и векторы

Скаляром называется такая величина, которую можно охарактеризовать одним числом. Пример скалярной величины - масса тела.

Физические величины, называемые векторами, удобно представлять в виде направленных отрезков разной длины. Векторы будем обозначать буквой со стрелкой над ней.

Чтобы задать вектор в выбранной прямоугольной декартовой системе координат с осями , , , необходимо задать три числа , называемые проекциями вектора на координатные оси. В частности, радиус-вектор точки пространства, см. рис.1.1, задается тремя координатами этой точки - , и которые и являются проекциями вектора :

.

Суммой векторов и называется вектор , обозначаемый следующим образом:

,

проекции которого равны суммам соответствующих проекций векторов и :

.

Рис. 2.4.

Если изобразить векторы , , графически, то есть с помощью стрелок, то они располагаются так, как показано на рис. 2.4.

Вектор называется произведением вектора на число , , если его проекции равны:

.

Графически вектор коллинеарен вектору , но длина его в раз больше, чем у , рис. 2.5.

Рис. 2.5.

Длиной вектора , которую будем обозначать той же буквой , но без стрелки, либо , называется корень квадратный из суммы квадратов проекций этого вектора:

. (2.44)

В частности, длина радиуса-вектора , рис.1.1, равна и совпадает с длиной отрезка, соединяющего начало системы координат с точкой , к которой проведен радиус-вектор. Что касается, например, длины вектора скорости частицы , то она имеет размерность , и сопоставлять величине пространственный отрезок можно лишь после выбора соответствующего масштаба.

Введем безразмерные векторы единичной длины , , , , направленные в положительном направлении осей , , и называемые ортами этих осей: - орт оси , - орт оси и - орт оси , рис.1.1. Определенные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число позволяют представить вектор в следующем виде:

. (2.45)

В частности, для радиуса-вектора имеет место представление (1.1).

Любое векторное равенство можно представить в виде трех скалярных равенств, в которые входят проекции векторов. О переходе от векторного равенства к скалярным говорят как о проектировании векторного равенства на координатные оси.

Пример 2.18. Спроектируем на координатные оси векторное равенство

.

Получим:

Рис. 2.6.

Вектор можно проектировать не только на координатные, но и на другие оси. Графически проекция вектора на направление изображена на рис.2.6.

Имеем:

, (2.46)

, если ; , если .