2.6. Вычисление определенных интегралов
Ньютоном и Лейбницем была доказана следующая теорема: определенный интеграл от некоторой функции равен разности значений первообразной этой функции при верхнем и нижнем пределах:
. (2.33)
Ввиду непосредственной связи первообразной с неопределенным интегралом, формула (2.33) сводит вычисление определённых интегралов к вычислению неопределенных интегралов.
Пример 2.13. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямой линией . Ввиду (2.32), (2.33) и учитывая фактическое тождество первообразной и неопределенного интеграла, получим:
.
Поскольку константа вычитается сама из себя и фактически не играет никакой роли, то её можно опускать при вычислении определённого интеграла через неопределенный.
Из формулы (2.33) вытекают следующие свойства определенного интеграла.
Определённый интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования и , но не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой:
.
2.
Для любых трех чисел
,
,
справедливо равенство:
.
Если верхний предел равен нижнему,
,
то определенный интеграл равен нулю:
.
При перемене местами пределов интегрирования перед интегралом меняется знак:
.
Очевидным образом на определенный интеграл распространяются свойства линейности (2.23), (2.24) неопределенного интеграла.
Пример
2.14. Вычислим
определенный интеграл от функции
в пределах от
до
.
Имеем:
Упражнения.
Вычислить определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Ответы:
а)
;
б)
;
в)
.
2.7. Дифференциальные уравнения
Многие задачи физики и механики в частности сводятся к решению дифференциальных уравнений, содержащих неизвестную функцию под знаком производной. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком высшей производной от неизвестной функции. Если искомая функция независимой переменной входит в уравнение под знаком первой производной, то дифференциальное уравнение имеет первый порядок. Общий вид такого уравнения следующий:
, (2.34)
где
- функция, выражающая связь между
,
,
.
Решая, или, как принято говорить, интегрируя дифференциальное уравнение, можно определить функцию , называемую решением или интегралом. Подстановка этой функции в уравнение обращает его в тождество.
Для решения уравнения (2.34) часто оказывается возможным применить метод разделения переменных, заключающийся в том, что (2.34) преобразуется к виду:
, (2.35)
где
,
- некоторые функции. Применяя операцию
интегрирования к левой и правой части
(2.35), получим:
, (2.36)
где
- постоянная. Вычисляя неопределенные
интегралы от функций
,
,
получим:
, (2.37)
где
,
- первообразные функций
и
,
и
- постоянные интегрирования. Если
перенести
и
в правую часть (2.37), то они образуют
единую константу вместе с постоянной
.
Поэтому обычно константы
и
опускают (полагают равными нулю).
Равенство (2.37) определяет связь между и , то есть искомую функцию .
Пример 2.15. Решим дифференциальное уравнение
. (2.38)
Учтем, что производная
равна отношению дифференциалов,
,
и преобразуем (2.38) к виду (2.35), то есть
разделим переменные
и
:
,
где - постоянная. Вычисляя интегралы, получим:
.
Полагая
,
после потенцирования получим:
. (2.39)
Подставляя (2.39) в (2.38), убеждаемся, что уравнение (2.38) превращается в тождество. Таким образом, функция (2.39) действительно является интегралом (решением) уравнения (2.38). Она содержит произвольную константу и называется общим решением дифференциального уравнения (2.38).
Так же, как и в
конкретном примере (2.38), общее решение
любого дифференциального уравнения
первого порядка содержит произвольную
константу. Для ее определения должно
быть задано начальное
условие, то
есть значение
функции
при некотором значении аргумента
.
Пример
2.16. Найдем
решение уравнения (2.38), удовлетворяющее
начальному условию
.
Полагая в (2.39)
,
,
получим
.
При этом
.
Общий вид дифференциального уравнения 2-го порядка следующий:
.
Общее решение
этого уравнения зависит от двух
произвольных констант. Для определения
констант должны быть заданы два начальных
условия, например, значения
и
самой функции и её производной при
некотором значении
аргумента.
При подстановке значений констант в общее решение получается частное решение дифференциального уравнения.
Пример 2.17. Решим дифференциальное уравнение 2-го порядка
(2.40)
с начальными
условиями
,
.
Введем новую функцию
.
Уравнение примет вид:
.
Разделяя переменные, получим:
. (2.41)
Учитывая, что
,
находим из (2.41), что
.
Таким образом,
,
. (2.42)
Учитывая, что
,
получим из (2.42), что
.
Таким образом, частное решение уравнения (2.40), удовлетворяющее требуемым начальным условиям, имеем вид:
.
Упражнения.
Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
.
Ответ:
.
Решить дифференциальное уравнение
с начальным условием
.Ответ:
.Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка
с начальными условиями
,
.
Ответ:
.