2.4. Некоторые свойства неопределенных интегралов и методы их вычисления

1. Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов:

   . (2.23)

Свойство (2.23) проверяется путем дифференцирования по левой и правой частей равенства (2.23) и использования (2.19).

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

. (2.24)

Это равенство также проверяется путем его дифференцирования по . Равенства (2.23), (2.24) выражают свойства линейности неопределённого интеграла.

Пример 2.9.

Один из методов интегрирования состоит в замене переменной (подстановке).

Пример 2.10. Вычислим неопределенный интеграл от функции . Сделаем замену переменной, положив , при этом . Имеем:

.

Пример 2.11. Вычислим неопределённый интеграл от функции . Положим , тогда . Получим:

.

Проинтегрируем равенство (2.16), используя "взаимную компенсацию" знаков дифференциала и интеграла (свойство (2.20)). Получим:

. (2.25)

Формула (2.25) называется формулой интегрирования по частям и часто используется при интегрировании функций. Отметим, что константу, возникающую при интегрировании левой части (2.16), писать не обязательно, так как её можно считать входящей в неопределенные интегралы в(2.25).

Пример 2.12. Вычислим неопределенный интеграл от функции . Положим , , и учтем, что . Получим с помощью (2.25):

Упражнения.

1. Вычислить путем подстановки неопределенные интегралы от следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы: а) ; б) ; в) ;

г) .

2. Вычислить методом интегрирования по частям:

а) ; б) . Ответы: а) ; б) .

5. Определённый интеграл

Рис. 2.2.

Пусть на отрезке задана функция . Изобразим эту функцию графически, рис. 2.2. Фигура, ограниченная снизу осью , сверху - кривой , а с боков прямыми и называется криволинейной трапецией. Вычислим её площадь . Для этого разобьём отрезок на частей точками деления

и обозначим через длину отрезка, лежащего между точками и , , . Разобьем площадь на отдельные полоски, как показано на рисунке. Обозначим через площадь полоски, опирающейся на отрезок . Имеем:

. (2.26)

Выберем наугад внутри каждого из отрезков точку . Рассмотрим полоску с номером , опирающуюся на отрезок . Построим прямоугольник, опирающийся на отрезок как на основание и имеющий высоту , равную значению функции в точке . Площадь полоски приблизительно равна площади этого прямоугольника:

, (2.27)

причем это равенство тем точнее, чем уже полоска, то есть чем меньше её ширина . Подставляя (2.27) в (2.26), получим:

. (2.28)

Сумма, стоящая в правой части (2.28), называется интегральной суммой функции . Обозначим её через :

. (2.29)

Тогда:

, (2.30)

то есть площадь криволинейной трапеции приблизительно равна интегральной сумме.

Равенство (2.30) перейдет в точное, если устремить к нулю ширину каждой полоски, . При этом число отрезков, на которые разбит участок оси , будет стремиться к бесконечности.

Определение. Предел, к которому стремится интегральная сумма (2.29) при и , называется определённым интегралом от функции в пределах от до . Число называется нижним пределом, а число - верхним пределом. Определенный интеграл обозначается символом

,

а функция , как и в случае неопределенного интеграла, называется подинтегральной функцией. Согласно данному определению имеем:

. (2.31)

Поскольку при и , то с учетом (2.29) - (2.31) находим, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу:

. (2.32)

Рис. 2.3.

Мы ввели понятие интегральной суммы и определённого интеграла для неотрицательной функции . Однако, без всяких изменений эти понятия распространяются и на знакопеременные функции. Различие лишь в том, что для таких функций не выполняется равенство (2.32). Так, для знакопеременной функции, график которой изображен на рис. 2.3, площади равны:

.

Знак "минус" перед интегралом, через который выражается площадь , учитывает то, что в интервале функция отрицательна.