2.2. Дифференциал

Из (2.5) следует, что чем меньше , тем меньше отношение отличается от . Поэтому можно представить в виде:

.

Получим:

. (2.8)

Пусть . Тогда произведение есть бесконечно малая первого порядка относительно , тогда как есть бесконечно малая высшего порядка, поскольку при . Итак, приращение функции состоит из двух слагаемых, первое из которых, равное , называется главной частью приращения функции. Главная часть линейна относительно . Её называют также дифференциалом и обозначают символом :

. (2.9)

Пример 2.6. Найдем дифференциал функции :

.

Итак, дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением ,

. (2.10)

Учитывая (2.10), можно записать формулу (2.9) в виде:

. (2.11)

Из (2.11) следует, что

.

Значит, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С учетом (2.11) можно записать (2.8) в виде:

.

Поскольку величина есть бесконечно малая высшего порядка, чем , то при достаточной малости можно пользоваться приближенным равенством

. (2.12)

Если , то в развернутом виде (2.12) выглядит так:

. (2.13)

Применим (2.13) к функции при и . Получим:

(2.14)

Аналогично (2.14) можно получить следующие формулы приближенного вычисления для значений :

(2.15)

Ввиду (2.11) вычисление дифференциала функции сводится к вычислению её производной. Поэтому правила 1 - 4 вычисления производных, приведенные в предыдущем подразделе, распространяются и на вычисление дифференциалов. В частности, для дифференциала произведения двух функций и получим:

. (2.16)

Упражнение. Получить формулы (2.15) с помощью приближенного равенства (2.13).

2.3. Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть функция является производной функции :

. (2.17)

Функция называется первообразной функции .

Пример 2.7. Найдем первообразную функции . Имеем:

.

Следовательно, функция является первообразной функции .

Пример 2.8. Поскольку , то функция является первообразной функции .

Пусть - постоянная величина. Имеем:

.

Таким образом, функция также является первообразной функции . Поэтому говорят, что первообразная определена с точностью до произвольной аддитивной (прибавляемой) постоянной. Итак, любая функция имеет не одну первообразную, а бесконечно много, поскольку константа может принимать любое значение.

Имеет место следующая теорема: если - одна из первообразных для функции , то любая другая первообразная имеет вид , то есть отличается от на постоянную величину .

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом:

.

Знак называется знаком интеграла, выражение называется подинтегральным выражением, а функция называется подинтегральной функцией.

Итак, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций вида

, (2.18)

где - произвольная постоянная, - какая-либо первообразная функции .

Из (2.18) следует ряд свойств неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции. Действительно, дифференцируя (2.18) и учитывая (2.17), получим:

. (2.19)

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

. (2.20)

Проверим это равенство. Имеем:

Подставляя последнее равенство в (2.18), получим (2.20).

3. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

, (2.21)

то есть знак дифференциала "d" и знак неопределенного интеграла " " "компенсируют" друг друга. Для доказательства умножим левую и правую части равенства (2.19) на :

.

Из последнего равенства, учитывая определение дифференциала (2.11), следует (2.21).

Таблицу неопределенных интегралов от элементарных функций можно построить с помощью таблицы производных, используя определение (2.17). В частности, из (2.6) получим:

(2.22)

Ввиду фактической тождественности первообразной и неопределенного интеграла можно считать (2.22) таблицей первообразных.