33 Г лава 2. Математический аппарат механики

Глава 2. Математический аппарат механики

2.1. Производная

Рассмотрим функцию

, (2.1)

определенную в некотором промежутке

. (2.2)

Это значит, что каждому значению величины из промежутка (2.2), называемой аргументом, соответствует определённое значение величины , называемой функцией. Связь между этими величинами удобно изображать графически, рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Фиксируем некоторое значение аргумента . Ему, согласно зависимости (2.1), соответствует значение функции . Придадим аргументу приращение , так что он изменится и станет равным . Изменится и значение функции , она станет равна . Приращение функции равно:

. (2.3)

Пример 2.1. Переменная является функцией величины :

.

Аргумент получил приращение . Найдем приращение функции.

Имеем:

. (2.4)

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при . Этот предел называется производной функции по аргументу и обозначается :

(2.5)

Пример 2.2. Найдем производную функции . Из (2.5), (2.4) получим:

.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения:

.

Обозначение производной принадлежит Лейбницу.

В механике производные по времени от различных функций времени принято обозначать знаком точки над функцией, либо по Лейбницу. Например, если координата материальной точки зависит от времени , то производная функции обозначается: , или , или . Вторая производная обозначается , или , или .

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием.

Как видно из рис. 2.1, при секущая AB превращается в касательную к графику функции в точке . Угол при этом становится углом наклона касательной, причем:

.

Таким образом, тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции в некоторой точке равен производной функции в этой точке.

Производные от различных элементарных функций приводятся обычно в виде таблицы в учебниках по математическому анализу. Приведем здесь некоторые производные функций, используемые далее.

(2.6)

Производные от более сложных функций вычисляются по следующим правилам.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

2. Производная суммы двух или нескольких функций равна сумме производных этих функций:

   .

3. Производная произведения двух функций и равна:

   .

4. Производная частного двух функций равна:

.

Пусть является сложной функцией от аргумента , , где - функция, называемая промежуточным аргументом. Имеет место следующее правило вычисления производной сложной функции:

. (2.7)

Пример 2.3. Вычислим производную функции , где - постоянная. Эту функцию следует рассматривать как сложную, роль промежуточного аргумента играет функция , роль функции играет функция "синус". С помощью правила (2.7) находим:

Пример 2.4. Вычислим производную функции . Полагая и используя (2.7), получим:

.

С помощью производной можно находить точки экстремума функции, в которых она принимает минимальное или максимальное значение. Производная функции в точке экстремума равна нулю. Если в этой точке вторая производная положительна, то это точка минимума функции. Если же вторая производная отрицательна, то это точка максимума функции.

Пример 2.5. Найдем точку экстремума и значение в этой точке функции . Имеем для первой и второй производных:

Приравнивая первую производную нулю, получим точку экстремума . Подставляя значение во вторую производную, получим, что . Таким образом, в точке функция имеет максимум. Подставляя в выражение для функции , получим значение функции в максимуме .

Упражнения.

1. Вычислить производные функций: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Ответы: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Найти точки максимума и минимума функций и значения функций в этих точках: а) ; б) .

Ответы: а) ; б) .

3. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции , проведенной через точку (1;1).

Ответ: .