17.4. Лоренцево сокращение длины

Подставим (17.21), (17.22) в любое из уравнений (17.11), например, в первое. Получим:

. (17.26)

Полученная формула связывает длину стержня в системе отсчета , относительно которой стержень покоится, с его длиной в системе , относительно которой стержень движется со скоростью . Величина называется собственной длиной стержня. Из (17.26) следует, что длина движущегося стержня тем меньше по сравнению с длиной покоящегося стержня, чем с большей скоростью движется стержень. Этот эффект называется лоренцевым сокращением длины.

Пример 17.2. Имеется прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен и угол между этим катетом и гипотенузой равен . Найдем в системе отсчета , движущейся относительно этого треугольника со скоростью вдоль катета , значение угла .

Свяжем с треугольником систему отсчета , ось которой направим вдоль катета , а ось - вдоль другого катета, собственную длину которого обозначим через . Имеем:

, ,

где и - длины катетов в системе ,

.

Задача 17.1. Найти собственную длину стержня , если в неподвижной системе отсчета его скорость равна , длина равна и угол между стержнем и направлением движения равен .

Ответ: , где .

17.5. Собственное время объекта

Пусть некоторый объект движется поступательно с постоянной скоростью вдоль оси системы отсчета , причем к объекту привязаны часы. Эти часы неподвижны относительно него и показывают так называемое собственное время объекта. Свяжем с объемом систему отсчета . Тогда часы, привязанные к нему, являются часами системы . Пусть и - два разных момента времени по часам, связанным с объектом. Промежуток времени между этими моментами равен:

.

Найдем соответствующий промежуток времени по часам "неподвижной" системы отсчета . Воспользуемся последним из соотношений (17.25), получим:

,

где - координата часов, связанных с объектом, в системе . Вычитая первое равенство из второго, получим:

, . (17.27)

Рассмотрим точечный объект, который движется относительно ИСО и его скорость относительно этой системы зависит от времени, . В этом случае для двух бесконечно малых промежутков времени и по часам движущегося объекта и часам неподвижной системы отсчета можно, согласно (17.27), записать:

. (17.28)

Интегрируя, получим связь между конечным промежутком времени по часам неравномерно движущегося объекта и интервалом времени , по часам неподвижной системы отсчета:

. (17.29)

При (17.29) совпадает с (17.27).

Пример 17.3. Идущие часы, находящиеся на высоте , начинают двигаться вертикально вниз с ускорением с нулевой начальной скоростью в момент, когда они показывают время "ноль". Найти показание этих часов в момент падения.

По неподвижным часам, связанным с землей, время падения равно:

.

Воспользовавшись формулой (17.29), получим, учитывая, что :

.

Учитывая, что скорость часов , можно положить, пользуясь формулой приближенных вычислений:

.

Получим:

.

Задача 17.2. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы . Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни .

Ответ: .