209 Г лава 17. Релятивистская механика

Глава 17. Релятивистская механика

17.1. Принцип относительности Эйнштейна

Классическая ньютоновская механика допускает, что взаимодействие между телами может распространяться со сколь угодно большой скоростью. Рассмотрим, например, закон всемирного тяготения:

. (17.1)

Сила притяжения зависит лишь от расстояния между частицами. Изменим положение одной из них так, чтобы изменилось расстояние . Согласно формуле (17.1), немедленно изменится сила, действующая на другую частицу. Иначе говоря, каким бы большим ни было расстояние между частицами, они мгновенно "чувствуют" изменение положения друг друга. Итак, сама структура формулы (17.1) предполагает, что гравитационное взаимодействие между телами распространяется мгновенно.

Однако, опыт показывает, что взаимодействия распространяются с конечной скоростью. Это значит, что если с каким-либо телом произойдет некое изменение, то на другом теле это изменение отразится лишь спустя конечный промежуток времени. Разделив расстояние между телами на этот промежуток, получим скорость распространения взаимодействия.

Предположим, что в некоторой ИСО

1) существует максимальная скорость распространения взаимодействий (МСРВ).

Сопоставим это утверждение с общим принципом относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета равноправны. Следует признать, что

2) МСРВ одинакова во всех ИСО и является универсальной физической константой.

Объединение постулата о существовании МСРВ с общим принципом относительности называется принципом относительности Эйнштейна.

Опыт Майкельсона (1881г.), наблюдения частиц света гамма-квантов, которые излучаются при распаде движущихся пи-мезонов, и другие эксперименты, доказавшие независимость скорости света от скорости движения источника, приводят к заключению, что МСРВ совпадает со скоростью света в пустоте:

. (17.2)

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета и , рис. 3.7. Система "неподвижна", а система движется вдоль оси системы с постоянной скоростью . Пусть вдоль осей и в их положительном направлении движется световая частица - фотон. Применив классическое правило сложения скоростей (3.57), получим:

, (17.3)

где - скорость фотона в системе , - его скорость в системе . Из (17.3) следует, что , тогда как, согласно принципу относительности Эйнштейна, должно быть . Таким образом, классическое правило сложения скоростей, основанное на представлениях об абсолютном времени и абсолютной длине (см. подраздел (3.9)), находится в противоречии с принципом относительности Эйнштейна. Приходится признать, что время не абсолютно. Это означает, что промежуток времени между двумя событиями неодинаков в разных системах отсчета. В частности, события, одновременные в одной системе отсчета, могут быть неодновременными в другой система. Следует также принять, что длина тела не абсолютна, она может быть различной в разных системах отсчета.

17.2. Процедура измерения времени

Неабсолютность времени, разная скорость его течения в различных системах отсчета вызывают необходимость четко определить все операции, связанные с измерением времени и сравнением показаний часов в разных системах отсчета.

Рис. 17.1.

Для наглядности будем считать, что "неподвижная" система отсчета связана с Землей, а система связана с открытой платформой, едущей по железной дороге со скоростью , рис. 17.1. Чтобы фиксировать время различных событий, разместим в разных точках пространства наблюдателей, снабженных часами. Наблюдатели системы неподвижны относительно Земли, а наблюдатели системы , связанной с платформой, неподвижны относительно платформы, то есть движутся относительно Земли со скоростью . Таким образом, в какой бы точке пространства ни произошло событие, рядом окажутся наблюдатели обеих систем отсчета, которые, каждый по своим часам, и зафиксируют время события.

Конечно, часы, которыми снабжены наблюдатели обеих систем отсчета, должны быть одинаковыми. Это значит, что если собрать все часы в одном месте, то скорость их хода будет одна и та же.

Все часы в данной системе отсчета должны быть синхронизированы после того, как наблюдатели с часами разошлись по своим пунктам наблюдения. Для этого наблюдателям данной СО, "дежурящим" в разных точках пространства, нужно договориться, чтобы по сигналу одного из них, например, по вспышке света, все наблюдатели установили бы свои часы с учетом того времени, за которое свет дойдет до каждого из них. Пусть "главный" наблюдатель, которому поручено дать световой сигнал, пускает свои часы, предварительно установленные на "ноль", и одновременно дает во все стороны световой сигнал. Наблюдатель, отстоящий от "главного" на расстоянии , учитывает, что световой сигнал будет идти до него 1 секунду. Поэтому он заблаговременно устанавливает на своих часах время 1 секунда и пускает их в тот момент, когда увидит световую вспышку. Соответственно, наблюдатель, отстоящий от "главного" на , устанавливает на своих часах время 2 секунды и т.д. В результате часы всех наблюдателей данной СО будут синхронизированы. Событие, заключающееся в подаче светового сигнала "главным" наблюдателем, происходит в момент времени "ноль" по всем часам данной СО.

Итак, часы в обеих системах отсчета синхронизированы Как будет происходить сравнение промежутков времени между двумя событиями в обеих СО? Рассмотрим эту процедуру на следующем примере. Пусть на платформе (система отсчета ) находится человек, перед ним стоят часы (часы системы ), рис. 17.1. Вдоль полотна дороги висят часы неподвижной системы отсчета. Человек начинает читать газету. Пусть в этот момент стоящие перед ним часы системы и те часы системы , мимо которых проезжает платформа, показывают время "ноль". Спустя некоторое время человек заканчивает чтение газеты, "засекая" этот момент по стоящим перед ним часам и тем часам неподвижной системы , мимо которых в этот момент проезжает платформа. Таким образом, человек имеет возможность сравнить время, ушедшее на чтение газеты, по "своим" часам, которые движутся вместе с платформой, и по часам неподвижной системы отсчета , расставленным вдоль дороги. Как мы увидим далее, время , прошедшее по движущимся часам, оказывается меньше, чем время , фиксируемое часами неподвижной системы отсчета. Насколько меньше - зависит от скорости движения платформы. Если эта скорость невелика по сравнению со скоростью света, то расхождение будет малым. Если же скорости сравнимы, то расхождение будет значительным.

Рис. 17.2.

Пример 17.1. Пусть к оси ИСО , движущейся с постоянной скоростью относительно неподвижной ИСО , привязан стержень так, что начало системы приходится на середину стержня, рис. 17.2. Длина стержня в системе , относительно которой он покоится, равна . Длину стержня в системе отсчета , относительно которой стержень движется со скоростью , обозначим через . Отсчет времени в обеих системах начинается с момента совпадения начал и . В этот момент, когда , из середины стержня испускаются в положительном и отрицательном направлениях оси ( ) два фотона. В соответствии с принципом относительности Эйнштейна, скорость фотонов относительно обеих СО одинакова и равна скорости света. Рассмотрим два события: событие , заключающееся в том, что фотон, испущенный в отрицательном направлении оси , достиг конца стержня ; событие , заключающееся в том, что фотон, испущенный в положительном направлении оси , достиг конца стержня . Координаты и время этих событий в системе отсчета равны:

. (17.4)

Запишем координаты концов стержня и координаты фотонов как функции времени в системе отсчета :

(17.5)

где - координаты фотонов, испущенных в положительном и отрицательном направлениях оси ( ). Решая задачу встречи фотонов с концами стержня, потребуем выполнения равенств

.

Получим координаты и время событий и в системе :

(17.6)

(17.7)

Замечаем, что , тогда как . Таким образом, события и одновременны в системе отсчета , но не одновременны в системе .