15.3. Отражение волн

Рассмотрим упругую среду, например, воздух, содержащую какие-либо препятствия (неоднородности), например, твердые тела. Волновое движение упругой среды в этом случае принято представлять как сумму падающих на препятствие волн и волн, отраженных от него.

Рис. 15.4.

Пусть в полубесконечной трубе с воздухом имеется жесткая перегородка в плоскости , рис. 15.4. Из области в положительном направлении оси распространяется плоская синусоидальная звуковая волна с амплитудой и циклической частотой ,

. (15.18)

В плоскости смещение частиц должно равняться нулю в любой момент времени. Однако функция вида (15.18) не удовлетворяет этому условию. В связи с этим следует предположить, что наряду с волной вида (15.18) в трубе распространяется в противоположном направлении еще одна волна, которую будем называть отраженной. Представим ее в виде:

, (15.19)

где - амплитуда, - начальная фаза колебаний частиц в отраженной волне в плоскости .

Примечание. Начальную фазу колебаний частиц вблизи какой-либо плоскости всегда можно положить равной нулю, если выбрать соответствующим образом начало отсчета времени. После такого выбора начальная фаза колебаний частиц близи других плоскостей является однозначно определенной. Так, в волне вида (15.18) начальная фаза колебаний частиц вблизи плоскости выбрана равной нулю.

Результирующее смещение частиц в трубе, согласно принципу наложения, равно:

. (15.20)

Это смещение должно равняться нулю для частиц, находящихся у перегородки, то есть при . Получим из (15.18) - (15.20), положив :

, (15.21)

где . Из (15.21) имеем:

.

Последнее равенство должно выполняться в любой момент времени, что возможно лишь в случае, если коэффициенты при и равны нулю. Получим систему уравнений вида:

(15.22)

Поделив первое уравнение на второе, находим:

,

,

. (15.23)

Подставляя (15.23) в первое уравнение (15.22), имеем:

.

Положим , получим . Таким образом, отраженная волна (15.19) имеет амплитуду, равную амплитуде падающей на перегородку волны, и начальную фазу в плоскости , равную .

Явление отражения волн от различных препятствий называется также дифракцией. Рассмотренная выше задача об отражении волны в трубе от перегородки является простейшим примером задачи дифракции.

15.4. Скорость распространения продольных возмущений в стержне

Рассмотрим упругий полубесконечный стержень с площадью сечения из материала с плотностью и модулем Юнга , рис. 15.5. Пусть на торец стержня воздействует вдоль его оси периодическая сила, под действием которой плоскость торца гармонически колеблется вокруг положения . Вычислим скорость распространения возмущения вдоль стержня.

Рис. 15.5.

Сопоставим сплошному стержню дискретную модель, состоящую из бесконечно тонких дисков с массами , соединенных невесомыми пружинками с жесткостью , расстояние между соседними дисками равно . В пределе, когда масса каждого диска бесконечно мала, а расстояние между ними стремится к нулю, выбранная модель соответствует сплошному стержню. Свяжем между собой параметры модели и сплошного стержня.

На длину сплошного стержня приходится масса . На эту же длину модельного "стержня" из дисков приходится масса . Очевидно, следует положить . Получим:

. (15.24)

Согласно формуле (13.5), участок длиной сплошного упругого стержня аналогичен пружине с коэффициентом жесткости ,

. (15.25)

Пусть крайний диск, которому припишем нулевой номер, совершает вдоль оси гармонические колебания по закону

,

где - смещение "нулевого" диска от положения равновесия . Смещения прочих дисков будут происходить с запаздыванием по времени:

, (15.26)

,

,

,

.

Здесь - время, за которое возмущение передается от диска к диску,

, (15.27)

- скорость распространения возмущения в цепочке дисков.

Рассмотрим диск с номером и вычислим проекцию на ось действующей на него результирующей силы. Эта сила определяется величиной смещений как самого диска с номером , так и соседних с ним дисков с номерами и . Имеет:

где - сила, действующая на диск с номером со стороны пружинки, находящейся слева от него; - сила, действующая на этот диск со стороны пружинки, находящейся справа от него. Результирующая сила , действующая на диск с номером , равна:

.

Применяя к этому диску второй закон Ньютона, получим:

.

Учитывая формулы (15.26), находим:

Учитывая, что

,

получим:

,

. (15.28)

Переходя от модели к сплошному стержню, следует перейти к пределу . При этом, как следует из (15.24), (15.27), , . Заменяя в (15.28) функцию "синус" её аргументом, получим:

.

Учитывая (15.24), (15.25), (15.27), получим из последнего равенства:

. (15.29)

Эта формула определяет скорость распространения продольного возмущения в упругом стержне, при котором частицы стержня смещаются от своих положений равновесия вдоль его оси.

Вывод формулы (15.29) сделан в предположении, что вдоль стержня распространяется плоская синусоидальная волна. Однако можно показать, что полученный результат справедлив и в общем случае распространения продольных возмущений в стержнях.