15.2. Наложение волн
В упругой среде могут одновременно распространяться несколько возмущений (звуковых волн). Если смещения частиц среды, вызываемые каждой волной в отдельности, достаточно малы, то, как показывает опыт и теория, выполняется с большой точностью принцип суперпозиции (принцип наложения): смещение частицы среды в результате распространения в ней нескольких волн равно сумме смещений, вызываемых каждой волной в отдельности. Наложение нескольких волн называется также интерференцией.
Рассмотрим трубу
с воздухом, в которой распространяются
навстречу друг другу две плоские
синусоидальные волны с одинаковой
частотой и амплитудой. Обозначим через
,
смещения частиц воздуха в трубе,
вызываемые волнами, бегущими соответственно
в положительном и отрицательном
направлениях оси
,
направленной вдоль трубы:
.
В соответствии с принципом суперпозиции, результирующее смещение частиц от положений равновесия равно:
.
Используя формулы для косинуса суммы (разности), находим:
. (15.11)
Возмущение среды, описываемое формулой (15.11), называется стоячей волной. Исследуем структуру этого возмущения.
Представим (15.11) в виде:
, (15.12)
, (15.13)
(15.14)
Величина
есть амплитуда, а величина
- начальная фаза колебаний частиц вблизи
плоскости
.
Из (15.13) следует, что в трубе имеются
такие плоскости, нормальные оси
,
в которых амплитуда колебаний частиц
равна нулю. Эти плоскости называются
узлами
стоячей волны. Их положение на оси
определяется из условия:
, (15.15)
где
- координата узла с номером
.
Расстояние между соседними узлами
равно:
.
Учитывая, что ввиду
(15.9)
,
заключаем, что расстояние
между соседними узлами равно
половине
длины волны.
Найдем из (15.13)
координаты плоскостей, вблизи которых
колебания частиц происходят с максимально
возможной амплитудой
.
Эти плоскости называются пучностями
стоячей волны. Их положение на оси
определяется из условия:
,
, (15.16)
где - координата пучности с номером . Расстояние между соседними пучностями равно половине длины волны (как и между соседними узлами):
.
Из (15.15), (15.16) следует, что расстояние между соседними узлом и пучностью равно четверти длины волны. Таким образом, плоскость, являющаяся пучностью стоячей волны, лежит посередине между двумя узлами.
Из (15.14), (15.15)
следует, что в любой момент времени фаза
колебаний одна и та же для всех частиц,
колеблющихся между двумя соседними
узлами. О таких частицах говорят, что
они колеблются
синфазно.
При переходе через узел фаза меняется
на величину
.
Это означает, что отклонения частиц,
колеблющихся по разные стороны от узла,
в любой момент времени противоположны
по знаку. О таких частицах говорят, что
они колеблются
в противофазе.
Пример
15.1. Имеется
труба с воздухом длины
.
Один конец трубы закрыт, а на другом
конце находится мембрана. При какой
циклической частоте
колебаний мембраны в трубе возникнет
стоячая волна? Скорость звука в воздухе
равна
.
У закрытого конца трубы амплитуда колебаний частиц воздуха равна нулю и, следовательно, имеется узел стоячей волны. У мембраны амплитуда колебаний частиц максимальна, то есть находится пучность стоячей волны. Расстояние между какими-либо узлом и пучностью, согласно полученным выше результатам, равно нечетному числу четвертей длин волн. Отсюда находим:
,
. (15.17)
При частотах колебаний мембраны, удовлетворяющих соотношению (15.17), в трубе возникает стоячая волна.
Рассмотрим случай, когда по трубе с воздухом распространяются навстречу друг другу две волны одинаковой частоты, но с различными амплитудами:
.
Будем считать, что
.
В этом случае, как нетрудно показать,
применяя принцип суперпозиции, движение
частиц в трубе представляет собой
наложение волны с амплитудой
,
распространяющейся в положительном
направлении оси
,
и стоячей волны с максимальной амплитудой
колебаний частиц, равной
.
Задача 15.1. На концах трубы длиной имеются две мембраны, колеблющиеся с одинаковой частотой и амплитудой в противофазе. При какой частоте колебаний мембран в трубе возникает стоячая волна?
Ответ:
.