187 Г лава 15. Волны в упругих средах

Глава 15. Волны в упругих средах

Рассмотрим неподвижную упругую среду - твердое тело, жидкость или газ. Если некоторую область этой среды вывести из равновесия, то есть придать ей движение, то это движение ("возмущение") будет передаваться соседним областям. Процесс распространения механического возмущения в упругой среде называется звуковой волной.

15.1. Плоская синусоидальная звуковая волна

Рис. 15.1.

Рассмотрим полубесконечную трубу, заполненную упругой средой, для определенности - воздухом. У конца трубы имеется поршень, совершающий гармонические колебания, рис. 15.1, так что смещение передней плоскости поршня от координатной плоскости зависит от времени по закону:

, (15.1)

где - амплитуда колебаний, - циклическая частота. Прилегающие к поршню частицы воздуха имеют такое же смещение, что и плоскость поршня. Действительно, когда поршень движется вправо, он толкает перед собой эти частицы. Когда же он движется влево, эти частицы прижимает к поршню воздух, находящийся в трубе. Таким образом, смещение частиц, прилегающих к поршню, описывается зависимостью (15.1).

Давление поршня на воздух в трубе играет роль вынуждающей силы, поэтому движение частиц в любой части трубы тоже будет колебательным с той же циклической частотой, причем колебания удаленных от поршня частиц будут происходить с запаздыванием по отношению к колебаниям плоскости поршня. Это запаздывание равно тому времени, за которое возмущение достигает данной части трубы. Получим:

, (15.2)

где - время, за которое возмущение дойдет до плоскости , - скорость распространения возмущения в трубе, называемая также скоростью звука. Таким образом, для частиц, колеблющихся вблизи плоскости , зависимость смещения от времени имеет вид:

, (15.3)

. (15.4)

О колебаниях частиц воздуха, описываемых формулой (15.4), говорят как о плоской синусоидальной звуковой волне, распространяющейся в положительном направлении оси . Плоской эта волна называется потому, что все частицы, которые колеблются вблизи некоторой плоскости , колеблются одинаково.

Примечание. Если учитывать вязкость воздуха, то амплитуда колебаний частиц у стенки трубы, очевидно, будет меньше, чем на оси, вследствие "прилипания" частиц вязкой среды - воздуха - к твердым стенкам. Кроме того, для частиц, находящихся у оси трубы, амплитуда колебаний будет тем меньше, чем дальше эта частица от поршня. Однако, если диаметр трубы достаточно велик, то амплитуду колебаний можно считать одинаковой для частиц, находящихся в разных частях трубы на не слишком большом удалении друг от друга.

Рис. 15.2.

Рассмотрим теперь трубу с поршнем, изображенную на рис. 15.2. При колеблющемся по закону (15.1) поршне возмущения в трубе будут распространяться в отрицательном направлении оси . Запаздывание во времени колебаний частиц вблизи плоскости от колебаний плоскости поршня имеет вид:

. (15.5)

С учетом (15.3), (15.5) получим:

. (15.6)

Эта формула описывает смещение частиц, колеблющихся вблизи плоскости , как функцию времени, и соответствует плоской синусоидальной звуковой волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси .

Зафиксируем определенную координату в (15.4). Смещение частиц, колеблющихся вблизи точки , имеет вид:

.

Частицы колеблются гармонически с циклической частотой . Период колебаний равен:

. (15.7)

Зафиксируем некоторый момент времени . Получим из (15.4):

. (15.8)

Рис. 15.3.

График этой зависимости смещения от координаты в фиксированный момент времени изображен на рис. 15.3. Период функции (15.8) по координате определяется из условия:

,

. (15.9)

Величина называется длиной волны. Она равна минимальному расстоянию вдоль оси между частицами, колеблющимися с одинаковыми фазами.

Фаза колебаний частиц в трубе имеет вид:

, (15.10)

причем знак "минус" соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении, а знак "плюс" - в отрицательном направлении оси . Вычислим скорость распространения постоянной фазы вдоль оси , называемую фазовой скоростью. Положим:

.

Дифференцируя это выражение по времени, получим для фазовой скорости:

.

Итак, в плоской синусоидальной волне скорость распространения постоянной фазы равна скорости звука.