14.6. Вязкость

В реальных жидкостях и газах действуют силы внутреннего трения, называемые также силами вязкости.

Рис. 14.10.

Рассмотрим жидкость (газ), текущую вдоль оси так, что скорость течения зависит от координаты , рис. 14.10. Выберем плоскость . Между слоями, текущими слева и справа от этой плоскости, действует сила трения. Как показывает опыт, сила трения, приходящаяся на единицу площади соприкасающихся слоев текущей жидкости (газа), пропорциональна градиенту скорости течения:

. (14.28)

Коэффициент называется коэффициентом вязкости (или вязкостью) сплошной среды. Величина этого коэффициента определяется внутренними свойствами сплошной среды и вообще-то зависит от температуры.

Частицы вязкой сплошной среды, находящиеся у поверхности твердого тела, как бы "прилипают" к ней. Поэтому скорость жидкости (газа) относительно твердой поверхности равна на этой поверхности нулю.

Рис. 14.11.

Пример 14.3. Имеются два коаксиальных цилиндра, рис. 14.11. Внутренний цилиндр радиуса вращается с угловой скоростью . Зазор между цилиндрами мал, . Между цилиндрами находится воздух с коэффициентом вязкости . Длины цилиндров одинаковы и равны . Какой момент сил следует приложить к внешнему цилиндру, чтобы удержать его от вращения?

Если внешний цилиндр удерживается в неподвижном состоянии, а внутренний вращается, то в зазоре между цилиндрами имеет место градиент скорости воздуха, увлекаемого во вращательное движение внутренним цилиндром,

.

Силу, действующую на единицу площади внутренней поверхности внешнего цилиндра, находим по формуле (14.28). Получим:

.

Момент этой силы относительно оси цилиндров равен произведению величины силы на плечо:

.

Умножая этот момент на площадь внутренней поверхности внешнего цилиндра, получим момент силы, необходимый для удержания внешнего цилиндра от вращения.

14.7. Течение вязкой жидкости по трубе

Рис. 14.12.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости с вязкостью по цилиндрической трубе радиуса рис. 14.12. Ось выберем направленной вдоль оси трубы в сторону течения. Линии тока направлены вдоль оси , а скорость течения зависит лишь от расстояния до оси трубы, .

Выделим внутри трубы цилиндр радиуса длиной . На боковую поверхность этого цилиндра действует сила трения , пропорциональная площади боковой поверхности и градиенту скорости. Скорость жидкости у стенок равна нулю, поэтому . Получим:

.

На основания цилиндра действует результирующая сила, обусловленная разностью давлений и , :

.

При стационарном течении выделенный цилиндр жидкости движется с постоянной скоростью, следовательно, сумма действующих на него сил равна нулю, . Получим:

.

Интегрируя последнее равенство по , находим:

. (14.29)

Постоянная интегрирования определяется из условия, что на стенке трубы, то есть при , скорость жидкости равна нулю. Получаем:

и формула (14.29) принимает вид:

. (14.30)

Последняя формула определяет зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы. Максимального значения скорость достигает на оси.

Определим объемный расход жидкости, то есть её объем , протекающий за одну секунду через поперечное сечение трубы. Для этого выделим в трубе кольцевую площадку радиуса и шириной , рис. 14.12. За единицу времени через эту площадку протечет объём жидкости

.

Подставим (14.30) в последнее равенство и проинтегрируем его в пределах от до ; получим:

. (14.31)

Формула (14.31) называется формулой Пуазейля. В соответствии с этой формулой, расход жидкости пропорционален разности давлений на концах некоторого участка трубы и обратно пропорционален вязкости жидкости и длине этого участка. С увеличением радиуса трубы расход возрастает пропорционально четвертой степени радиуса. Если умножить левую и правую части (14.31) на плотность жидкости , получим массовый расход жидкости, то есть её массу, проходящую за одну секунду через поперечное сечение трубы.

Задача 14.2. По трубке длины и радиуса течет стационарный поток жидкости, плотность которой и вязкость . Скорость течения из оси трубы равна . Найти:

а) кинетическую энергию жидкости в объеме трубки;

б) разность давлений на концах трубки.

Ответ: а) ; б) .