14.5. Стационарное течение идеальной жидкости в поле консервативных сил

Идеальной называется несжимаемая жидкость, в которой при её движении отсутствуют силы трения. Между соседними частями такой жидкости действуют лишь силы нормального давления.

Рис. 14.8.

Рассмотрим бесконечно узкую трубку тока и выделим в ней часть жидкости, занимающую объем , рис. 14.8. За бесконечно малое время эта часть жидкости сместится вдоль трубки и займет объем . Вычислим совершенную при этом работу сил, действующих на выделенный объем со стороны остальной жидкости. Ввиду идеальности жидкости, касательные силы, действующие на боковую поверхность выделенного объема, равны нулю. Работу совершают лишь силы давления и , направленные вдоль оси трубки тока, где и - площади сечений и . Имеем для работы сил и :

,

.

Поскольку жидкость несжимаема, то

,

где - масса жидкости в объеме . Получим:

. (14.22)

Кроме работы , совершенной силами, действующими на выделенную часть жидкости со стороны остальной жидкости, некоторую работу совершат действующие на эту часть жидкости консервативные силы, причем , где - приращение потенциальной энергии выделенной части жидкости в результате её смещения из положения в положение . Полная работа всех сил, совершенная при смещении выделенной части жидкости равна приращению её кинетической энергии :

,

,

где - приращение механической энергии выделенной части жидкости. С учетом (14.22) получим:

. (14.23)

Вычислим величину . Обозначим через механическую энергию единицы массы жидкости вблизи сечения , а через - вблизи сечения . В результате смещения выделенного объема жидкости из положения в положение механическая энергия части жидкости в объеме не изменилась, так как течение жидкости стационарно. Поэтому приращение связано с тем, что масса жидкости переместилась от сечения к сечению :

. (14.24)

Из (14.24), (14.23) находим:

.

Ввиду произвольности выбора двух сечений внутри трубки тока из последнего равенства следует, что вдоль бесконечно узкой трубки тока, то есть фактически вдоль линии тока, при стационарном течении идеальной жидкости выполняется условие:

. (14.25)

Последнее соотношение называется уравнением Бернулли.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в однородном поле тяжести. В этом случае , где - скорость жидкости, - уровень в поле тяжести, и уравнение Бернулли примет вид:

. (14.26)

Рис. 14.9.

Пример 14.2. Вычислим скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, рис. 14.9. Отверстие находится на глубине . Ввиду малости отверстия, опускание свободной поверхности жидкости в сосуде происходит медленно, и процесс истечения можно считать стационарным в любой момент времени. Выберем линию тока , где точка находится на поверхности жидкости, точка - у выхода жидкости из отверстия. Применим к этой линии тока уравнение (14.26):

.

Но , где - атмосферное давление. Учитывая также, что и величиной можно пренебречь по сравнению с , получим скорость истечения жидкости из малого отверстия:

. (14.27)

Эта формула называется формулой Торичелли.

Задача 14.1. Цилиндрический сосуд высоты с площадью основания наполнен водой. В дне сосуда открыли небольшое отверстие с площадью . Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда.

Ответ: