14.3. Закон Архимеда

Выделим в неподвижной жидкости объем , ограниченный поверхностью , рис. 14.1. Жидкость внутри объема находится в равновесии, следовательно, действующая на неё сила равна нулю,

, (14.15)

где - вес жидкости в объеме , - сила, действующая на поверхность со стороны жидкости, окружающей объем , обусловленная давлением внутри жидкости. Из (14.15) следует, что сила направлена в сторону, противоположную направлению силы тяжести, то есть является выталкивающей:

. (14.16)

Ввиду равновесия выделенного объема жидкости момент всех сил, действующих на него, равен нулю относительно любого неподвижного начала, в том числе относительно центра масс :

, (14.17)

где - момент силы тяжести, - момент сил давления, действующих на поверхность . Силу тяжести можно считать приложенной к центру масс, поэтому . Из (14.17) следует, что момент сил давления, действующих на выделенный объем жидкости , также равен нулю относительно центра масс жидкости, занимающей этот объем:

. (14.18)

Пусть жидкость из объема удалена и на её место помещено тело, удерживаемое внешними силами в равновесии. В жидкости, окружающей тело, не произойдет никаких изменений, поэтому силы, действующие на поверхность тела, останутся такими же, какие действовали на объем жидкости до его замены телом. С учетом (14.16) заключаем, что на тело погруженное в жидкость действует со стороны жидкости выталкивающая сила, численно равная весу жидкости, вытесненной телом (закон Архимеда).

Для тела, "заместившего" жидкость в объеме , будет выполняться также равенство (14.18). Таким образом, момент сил давления, действующих на тело, равен нулю относительно точки , являющейся центром масс жидкости в объеме .

Центр масс тела может не совпадать с центром масс жидкости в объеме , рис. 14.1. При этом, если точка не находится на одной вертикали с точкой , момент силы тяжести относительно точки не равен нулю. Для суммарного момента силы тяжести и сил давления относительно точки имеем с учетом (14.18):

. (14.19)

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует не только выталкивающая сила, но и, в общем случае, отличный от нуля вращающий момент.

Проведенные в настоящем подразделе выкладки без изменений распространяются на тела, погруженные в газовую среду.

14.4. Кинематика сплошных сред

Рис. 14.5.

Рассмотрим движущуюся сплошную среду, для определенности жидкость. Мысленно разобьем жидкость на малые частицы и из каждой частицы, как из начала, отложим вектор, изображающий скорость этой частицы в момент , рис. 14.5.

Получим так называемое поле скоростей, то есть мгновенную (в момент времени ) картину пространственного распределения скоростей жидкости. Проведем в жидкости линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости жидкости в данной точке. Эти линии называются линиями тока.

Если пространственное распределение скоростей жидкости не меняется со временем, то течение жидкости называется стационарным. При стационарном течении скорость всех частиц жидкости, проходящих через некоторую фиксированную точку пространства, одна и та же. Иначе говоря, скорость жидкости в точке пространства с радиусом-вектором зависит лишь от положения этой точки и не зависит от времени, . При стационарном течении линии тока не меняются со временем и являются траекториями движения частиц жидкости.

Рис. 14.6.

Выберем в жидкости произвольный замкнутый контур и через каждую его точку проведем линию тока, рис. 14.6. Получим трубчатую поверхность, ограничивающую часть жидкости и называемую трубкой тока. Поверхность трубки тока не могут пересекать частицы жидкости, поскольку их скорость на этой поверхности касательна к ней. Таким образом, поверхность трубки тока подобна боковой поверхности трубы с непроницаемыми для жидкости, хотя и гибкими стенками. При стационарном течении жидкости форма и положение трубки тока не меняются со временем.

Если размеры поперечного сечения трубки тока достаточно малы (в пределе бесконечно малы), то можно считать, что скорость жидкости одна и та же во всех точках какого-либо поперечного сечения. В этом случае через площадь поперечного сечения за время пройдет объем жидкости , где - скорость жидкости в сечении , рис. 14.7. Масса жидкости, протекающей через сечение за время , равна , где - плотность жидкости. Получим:

Рис. 14.7.

. (14.20)

При стационарном течении жидкости через два разных поперечных сечения и трубки тока за время проходят равные массы жидкости и . С учетом (14.20) получим:

,

где , - скорость жидкости в этих сечениях. Если жидкость несжимаема, то в разных точках трубки тока плотность одна и та же, поэтому следует положить . Получим:

. (14.21)

Таким образом, скорость жидкости в трубке тока больше в той её части, где сечение трубки уже.