14.2. Упругие свойства сплошных сред

Жидкости и газы не обладают упругостью формы - они принимают форму того сосуда, в котором находятся (при этом газ заполняет весь объем сосуда). Однако сплошные среды обладают объемной упругостью. Так, при изотермическом уменьшении объема жидкостей и газов давление в них возрастает. Для каждой жидкости и газа в статическом случае существует своя однозначная зависимость между давлением и объемом, в которую в качестве параметра входит температура:

. (14.6)

Эта зависимость называется уравнением состояния. Для идеальных газов оно имеет вид

(14.7)

и называется уравнением Менделеева - Клапейрона. В (14.7) - масса газа, - его молярная масса, - константа, называемая универсальной газовой постоянной.

Для жидкостей зависимость объема от давления при постоянной температуре является более слабой, чем для газов. В ряде случаев этой зависимостью можно пренебречь, считая, что объем жидкости не зависит от давления. Такая жидкость называется несжимаемой. Плотность несжимаемой жидкости также не зависит от давления, поскольку объем единицы массы жидкости постоянен. Разность давлений на разных уровнях в несжимаемой жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, определяется формулой (14.3). К газам формула (14.3) применима лишь в том случае, если разность уровней достаточно мала, так что можно пренебречь зависимостью плотности газа от высоты.

Рис. 14.4.

Пусть сплошная среда, находящаяся в цилиндре под поршнем, рис. 14.4, имеет объем , давление и температуру и описывается уравнением состояния (14.6). Рассматривая среду под поршнем как упругий стержень, вычислим его модуля Юнга при постоянной температуре и бесконечно малых сжатиях ("деформациях") по отношению к исходному объему . В условиях равновесия имеем:

(14.8)

где - площадь сечения цилиндра, - сила, удерживающая поршень при "недеформированном" стержне, имеющем объем и давление ; - сила, удерживающая поршень при деформированном стержне, имеющем объем и давление . Из (14.8) находим:

. (14.9)

Приращение объема можно выразить через смещение поршня от начального положения , соответствующего недеформированному стержню сплошной среды:

. (14.10)

Воспользуемся формулой (2.61) для дифференциала функции нескольких переменных, применив ее к функции (14.6):

.

Учитывая, что рассматривается изотермическое сжатие среды под поршнем, следует положить , . Получим:

. (14.11)

Из (14.11), (14.10) находим с учетом (14.9):

.

Поделим последнее равенство на объем недеформированного стержня. Получим:

. (14.12)

Величину следует рассматривать как относительную деформацию стержня, а величину как деформирующее напряжение. Сравнивая (14.12) с (13.4), заключаем, что модуль Юнга стержня определяется равенством:

. (14.13)

Для газа с учетом (14.7) находим:

,

. (14.14)

Таким образом, модуль Юнга "газового стержня" при его изотермических малых деформациях равен давлению газа.