175 Г лава 14. Механика жидкостей и газов

Глава 14. Механика жидкостей и газов

14.1. Статические напряжения в жидкостях и газах

Рис. 14.1.

Рассмотрим жидкую или газообразную среду, именуемую далее сплошной средой, находящуюся в статическом состоянии. Выделим часть среды, ограниченную замкнутой поверхностью , рис. 14.1, и на этой поверхности выберем площадку . Обозначим через силу, с которой окружающая сплошная среда действует на элемент поверхности выделенного объема . Опытные факты приводят к заключению, что вектор нормален к площадке , то есть в статическом случае касательные напряжения между соседними областями жидкости или газа равны нулю. Это означает, что силы трения покоя между соседними частями неподвижной сплошной среды отсутствуют. Проявлением отсутствия сил трения покоя в жидкостях является, например, тот факт, что свободная (граничащая с воздухом) поверхность неподвижной жидкости нормальна к направлению силы тяжести, то есть горизонтальна.

Напряжение в газах всегда является давлением. Это означает, что сила направлена внутрь объема газа . Давление вычисляется по формуле:

. (14.1)

Что касается жидкостей, то при определенных условиях внутри них могут иметь место натяжения. Однако на практике приходится иметь дело с напряжениями в жидкостях, имеющими характер давления. Поэтому далее рассматриваются лишь случаи, когда внутри жидкости действует давление.

Рис. 14.2.

Давление в сплошной среде можно измерить, например, с помощью прибора, изображенного на рис. 14.2, представляющего собой узкую трубку с пружиной и поршнем, причем в объеме трубки между её закрытым концом и поршнем нет другого вещества, кроме пружины. По сжатию пружины можно судить о величине силы , действующей со стороны жидкости (газа) на поршень. Среднее давление среды на поршень вычисляется по формуле:

,

где - площадь соприкасающейся со средой поверхности поршня. Если , то прибор позволяет измерить давление в данной точке сплошной среды.

Как показывает опыт, имеет место закон Паскаля: давление в данной точке жидкости (газа) одинаково по всем направлениям. Это означает, что при любых ориентациях измерителя давления, изображенного на рис. 14.2, его показания будут одинаковы, если передняя плоскость поршня остается расположенной рядом с неподвижной точкой внутри сплошной среды. Можно показать, что закон Паскаля является прямым следствием отсутствия сил трения покоя в жидкостях и газах.

Полагая в (14.1) , получим единицу давления в системе СИ, называемую Паскалем:

.

На практике иногда используются такие единицы, как техническая атмосфера,

и физическая атмосфера,

.

Рис. 14.3.

Выделим в неподвижной сплошной среде, находящейся в однородном поле тяжести, цилиндрический столбик высотой , опирающийся на горизонтальную площадку , рис. 14.3. Обозначим через давление на уровне нижнего основания цилиндра, - давление на уровне верхнего основания. Ввиду отсутствия сил трения покоя на боковую поверхность цилиндра не действуют касательные силы. Поэтому результирующая сила, действующая вдоль оси на цилиндр со стороны окружающей среды, равна:

.

Кроме этой силы, на цилиндр действует сила тяжести:

,

где - ускорение силы тяжести, - масса цилиндра, - его объем, - плотность среды на уровне . Поскольку цилиндр неподвижен, сумма этих сил равна нулю. Получим:

.

Проинтегрируем это равенство в пределах от до . Для разности давлений на уровнях и находим:

. (14.2)

Если плотность среды можно считать постоянной при , то, вынося в (14.2) из под знака интеграла, получим:

, (14.3)

где - разность уровней.

Пусть уровень соответствует свободной поверхности жидкости, граничащей с атмосферой. Тогда, , где - атмосферное давление у поверхности. Из (14.3) получим давление в жидкости на глубине :

, (14.4)

. (14.5)

Давление , определяемое формулой (14.5), есть давление столба жидкости высотой . Последняя формула позволяет измерять давление в единицах длины столба жидкости, плотность которой одинакова на разных уровнях. Например, давление столба ртути высотой , имеющей плотность , согласно формуле (14.5) равно . Принято считать, что такое давление является нормальным атмосферным давлением на уровне моря.

Пример 14.1. Покажем, что давление в неподвижной сплошной среде, находящейся в однородном поле тяжести, одинаково во всех точках, лежащих на одном уровне. Выделим в среде круговой цилиндр конечной длины, имеющий предельно малые основания и с площадями , нормальные к оси цилиндра, которую считаем горизонтальной. На боковую поверхность цилиндра действуют лишь нормальные силы со стороны окружающей среды, их проекция на ось цилиндра равна нулю. Равна нулю также проекция на эту ось силы тяжести, действующей на цилиндр. Таким образом, в направлении своей оси цилиндр подвержен лишь воздействию сил, приложенных к его основанию:

,

где - давление у оснований и . Поскольку среда неподвижна, то , , что и требовалось доказать.