12.7. Резонанс

Рис. 12.9.

Рассмотрим вынужденные колебания системы, описываемые уравнением (12.40), пренебрегая диссипативными силами. Полагая в (12.48) , получим для модуля амплитуды вынужденных колебаний:

.

Величина зависит от частоты вынуждающей силы. График зависимости приведен на рис. 12.9, кривая 1. Амплитуда неограниченно возрастает, если частота вынуждающей силы стремится к частоте собственных колебаний системы.

В реальной системе действуют диссипативные силы и неограниченный рост амплитуды колебаний невозможен. При график зависимости имеет вид кривой 2, рис. 12.9. Максимум амплитуды достигается при частоте вынуждающей силы, равной некоторому значению , называемому резонансной частотой системы. Явление возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называется резонансом.

Вычислим резонансную частоту. Из (12.48) следует, что величина максимальна, если подкоренное выражение имеет минимальное значение. Приравнивая нулю производную этого выражения по переменной , получим:

, (12.50)

.

Из трех корней уравнения (2.50) корень соответствует минимуму функции , корень отрицателен и не имеет физического смысла, корень положителен и соответствует максимуму функции . Итак, для резонансной частоты имеем:

. (12.51)

Полученное выражение для резонансной частоты имеет смысл лишь в том случае, если , то есть если диссипативные силы, действующие в системе, не слишком велики. Если же , то резонанс в такой системе невозможен.

Явление резонанса учитывается при конструировании машин, зданий и т.д. Резонансная частота конструкций не должна быть близка к частоте возможных воздействий извне, чтобы избежать резонанса, который может привести к разрушению конструкции. Вместе с тем, явление резонанса находит техническое применение в некоторых устройствах, например, в акустических системах.

Наряду с воздействием на систему выводящей ее из равновесия внешней силой соответствующей частоты можно увеличить в некоторых случаях амплитуду колебаний и другим способом - периодическим изменением некоторого параметра системы. В этом случае говорят о параметрическом резонансе. Так, меняя длину нити, на которой подвешен раскачивающийся шарик, а именно - увеличивая длину нити, когда отклонение шарика максимально и уменьшая её, когда шарик проходит через положение равновесия, можно добиться резкого увеличения амплитуды колебаний шарика.

Задача 12.7. Амплитуды вынужденных установившихся колебаний осциллятора при частотах и вынуждающей силы равны между собой. Найти частоту , при которой амплитуда максимальна.

Ответ: .