12.6. Вынужденные колебания

До сих пор нами рассматривались колебания тел, которые принято называть собственными колебаниями. Такие величины, характеризующие собственные колебания, как период и коэффициент затухания, определяются лишь свойствами самой колеблющейся системы - длиной маятника, массой груза, коэффициентом упругости пружины, величиной силы сопротивления.

Рассмотрим вынужденные колебания грузика, подвешенного на пружине, на который действует вдоль вертикали (ось ) периодическая внешняя сила:

, (12.38)

которую будем называть вынуждающей силой. Учитывая действие на грузик силы упругости пружины, силы сопротивления и вынуждающей силы, запишем уравнение его движения в виде:

.

Используя обозначения

получим уравнение вынужденных колебаний:

. (12.40)

Это уравнение отличается от уравнения (12.26) наличием не равной нулю правой части.

Будем искать решение уравнения (12.40) в виде гармонической функции времени с частотой, равной частоте вынуждающей силы, учитывая при этом, что отклонение грузика по причине его инертности должно отставать по фазе от вынуждающей силы на некоторую величину :

. (12.41)

Подставляя (12.41) в (12.40), после простых преобразований получим:

, (12.42)

, (12.43)

. (12.44)

Равенство (12.42) должно выполняться при любых значениях , в частности, при и . Отсюда находим, что . Полагая в (12.44) , получим:

. (12.45)

Величину , удовлетворяющую (12.45) условимся выбирать следующим образом:

(12.46)

С учетом (12.45) находим:

.

Из последнего равенства получим, учитывая (12.46):

. (12.47)

Полагая в (12.43) , получим:

.

С учетом (12.45), (12.47) последнее равенство примет вид:

. (12.48)

Итак, при значениях величин и , определяемых равенствами (12.45), (12.46), (12.48) функция (12.41) является решением уравнения вынужденных колебаний (12.40). Эта функция, однако, не содержит двух произвольных констант и, следовательно, является не общим, а частным решением дифференциального уравнения второго порядка (12.40).

Перейдем к нахождению. общего решения уравнения вынужденных колебаний. Обозначим через функцию, являющуюся решением уравнения (12.26),то есть обращающую это уравнение в тождество. В зависимости от величины силы сопротивления функция имеет вид (12.27), либо (12.34), либо (12.37). Через обозначим функцию (12.41), являющуюся частным решением уравнения (12.40). Имеем:

,

.

Складывая эти тождества, получим:

.

Сопоставляя последнее тождество с уравнением (12.40), заключаем, что функция

, (12.49)

где величины и определяются равенствами (12.45), (12.46), (12.48), является решением уравнения (12.40). Поскольку функция содержит две произвольных постоянных ( и в (12.27), и в (12.37), и в (12.34)), то функция (12.49) является общим решением уравнения (12.40).

При и имеем , и общее решение (12.49) уравнения (12.40) переходит в частное решение вида (12.41). В связи с этим говорят, что решение (12.41) соответствует установившимся вынужденным колебания. Физически это означает следующее. Пусть грузик на пружине совершает затухающие колебания. В некоторый момент времени, для определенности в момент , на грузик начинает действовать периодическая вынуждающая сила. Отклонение грузика от положения равновесия описывается, начиная с нулевого момента времени, зависимостью вида (12.49). С течением времени функция убывает, стремясь к нулю, и зависимость (12.49) переходит в (12.41). Колебания грузика превращаются в установившиеся. Установившиеся колебания являются гармоническими и происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Результаты, полученные выше для грузика на пружине, распространяются на любую систему, колебания которой описываются уравнением (12.40).

Пример 12.6. Шарик массы на пружине может совершать незатухающие гармонические колебания около точки с собственной частотой . В момент , когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу , , действующую вдоль оси . Найдем зависимость смещения шарика от времени. Воспользуемся решением (12.49) уравнения вынужденных колебаний, положив в нем ввиду отсутствия затухания. Функция имеет при этом вид (12.2), поскольку при (12.26) переходит в уравнение гармонических колебаний. Получим с учетом (12.48), (12.45) - (12.46):

,

.

В момент шарик покоился в положении равновесия . Полагая , , получим:

.

Из последних равенств следует, что можно положить

.

Окончательно получим:

.

Задача 12.6. Найти выражение для вынуждающей силы , под действием которой осциллятор массы с коэффициентом затухания совершает колебания по закону , где - собственная частота осциллятора в отсутствие трения, - постоянная.

Ответ: .