12.5. Затухающие колебания
Рассматривая колебательные системы, такие, как грузик на пружине, физический маятник и т.д., мы пренебрегали диссипативными силами. Однако, эти силы всегда действуют в реальных механических системах, приводят к уменьшению механической энергии системы и, соответственно, к затуханию колебаний. Например, амплитуда колебаний грузика, подвешенного на пружине, уменьшается с течением времени.
Изучим затухающие колебания на примере грузика, подвешенного на пружине в некоторой среде, например, в жидкости или в газе. При малых колебаниях, когда скорость грузика невелика, можно считать силу сопротивления среды пропорциональной скорости грузика (см. подраздел 4.6):
(12.25)
где
- отклонение грузика от положения
равновесия по вертикали, вдоль которой
направлена координатная ось
.
Коэффициент
зависит от формы и размеров грузика и
от свойств окружающей среды. Уравнение
движения грузика с учетом действия силы
упругости пружины и силы сопротивления
среды примет вид:
. (12.26)
Дифференциальное уравнение второго порядка (12.26) называется уравнением затухающих колебаний.
Если сила
сопротивления достаточно мала, так что
,
то решение уравнения (12.26) имеет вид:
, (12.27)
, (12.28)
Рис. 12.7.
и
- произвольные постоянные. Действительно,
подставляя (12.27) в уравнение (12.26) и
учитывая соотношения (12.28), получим
тождество. Величина
называется коэффициентом
затухания, а величина
- частотой затухающих
колебаний.
График зависимости (12.27) имеет вид, изображенный на рис. 12.7. и называется затухающей синусоидой. Функция (12.27) является произведением двух сомножителей:
а) периодической
функции
,
период которой равен
(12.29)
и называется условным периодом затухающих колебаний;
б) экспоненциально
затухающей функцией времени
,
которую можно рассматривать как амплитуду
колебаний, уменьшающуюся с течением
времени, причем уменьшение этой функции
в
раз происходит за время
(12.30)
называемое временем релаксации.
Величина
(12.31)
называется логарифмическим декрементом затухания. Она показывает, во сколько раз условный период затухающих колебаний больше времени релаксации.
Отношение
равно числу колебаний, совершаемых за
время релаксации. Пропорциональная
этому отношению величина
(12.32)
называется добротностью.
Если сила сопротивления достаточно велика, так что выполняется неравенство
, (12.33)
то подкоренное выражение в (12.28) отрицательно и решение (12.27), (12.28) уравнения затухающих колебаний теряет физический смысл. В этом случае решение уравнения (12.26) имеет вид:
, (12.34)
, (12.35)
где
и
- постоянные (которые могут быть
определены, если заданы начальные
условия, то есть
и
).
Действительно, подставляя (12.34) в (12.26) и
учитывая (12.35), получим тождество. Из
(12.33), (12.34) следует, что при сильном
сопротивлении среды возвращение
отклоненного грузика в положение
равновесия происходит без колебаний.
В зависимости от начальных условий,
график функции (12.34) имеет характер типа
а) либо типа б), рис. 12.8.
Если имеет место равенство
, (12.36)
то решение уравнения (12.26) имеет вид
, (12.37)
где
и
- постоянные. Действительно, подставив
(12.37) в (12.26) и учитывая (12.36) получим
тождество.
График функции (12.37) имеет качественно характер типа графика а), рис. 12.8. или б), в зависимости от начальных условий.
Рис. 12.8.
Для того, чтобы колебания в реальной системе были незатухающими, необходимо восполнять убыль механической энергии системы. Например, энергию грузика на пружине можно пополнять, толкая грузик извне в такт с его колебаниями.
Существуют колебательные системы, которые сами управляют "подкачкой" энергии извне. Например, в маятниковых часах при прохождении маятником положения равновесия происходит небольшое опускание массивного груза - гири, при этом маятник получает толчок. Такие системы называются автоколебательными, а происходящие в них колебания называются автоколебаниями.
Задача
12.5. Путем
измерений установлено, что условный
период затухающих колебаний маятника
равен
,
причем амплитуда колебаний уменьшается
в 2 раза за время
.
Чему равна добротность маятника?
Ответ:
.