12.3. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться на неподвижной горизонтальной оси . Положение тела определяется углом отклонения от положения устойчивого равновесия, рис. 12.3. Обозначим через расстояние от центра масс тела до оси . При отклонении на угол центр масс поднимается на высоту ,

Рис. 12.3.

. (12.18)

Если в положении равновесия считать потенциальную энергию тела равной нулю, то при отклонении на угол она равна , где - масса тела. В случае малых колебаний, когда , можно положить . Для потенциальной энергии тела имеем в этом случае:

. (12.19)

Кинетическая энергия маятника рана:

, (12.20)

где - момент инерции маятника относительно оси , - угловая скорость маятника.

Пусть маятник совершает малые колебания, причем диссипативными силами можно пренебречь. В этом случае механическая энергия маятника сохраняется, . С учетом (12.18), (12.20) имеем:

.

Дифференцируя это равенство по времени и учитывая, что , получим:

. (12.21)

Из (12.21) следует, что отклонение маятника является гармонической функцией времени:

. (12.22)

где и - постоянные. Период колебаний физического маятника равен:

. (12.23)

Пример 12.4. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. Полагая в (12.23) , где - длина нити, получим формулу для периода малых колебаний математического маятника:

.

Упражнение. Вычислить период малых колебаний диска радиуса вокруг горизонтальной оси, проходящей через край диска и нормальной его плоскости.

Ответ: .

12.4. Сложные колебательные системы

Полученные результаты применимы к анализу более сложных по сравнению с рассмотренными выше колебательных систем.

Рис. 12.4.

Пример 12.5. Вычислим период малых колебаний цилиндра массы , изображенного на рис. 12.4. Жесткости пружин равны и . Проскальзывание цилиндра по горизонтальной поверхности отсутствует. Считаем, что в положении равновесия, когда координата точки по оси равна нулю, пружины недеформированы.

При малом смещении оси цилиндра ( , где - радиус цилиндра), смещение вдоль оси точки крепления пружины складывается из смещения точки и смещения за счет поворота цилиндра на угол , причем, ввиду отсутствия проскальзывания, . Таким образом:

. (12.24)

Механическая энергия системы складывается из потенциальных энергий пружин, кинетической энергии движения цилиндра как целого и кинетической энергии его вращения вокруг оси . При отсутствии диссипативных сил полная энергия сохраняется,

,

где . Подставляя (12.24) в последнее равенство и дифференцируя его по времени, получим уравнение гармонических колебаний относительно неизвестной функции :

.

Из последнего уравнения следует, что циклическая частота колебаний цилиндра равна

Рис. 12.5.

.

Отсюда определяется период колебаний .

Задача 12.3. Вычислить период малых колебаний физического маятника в виде стержня массы и длиной , соединенного с пружиной с коэффициентом жесткости , рис. 12.5. Расстояние от оси до точки крепления пружины к стержню равно . При вертикальном положении стержня пружина не деформирована.

Ответ: .

Рис. 12.6.

Задача 12.4. Вычислить период колебаний грузов с массами и , связанных пружиной с коэффициентом жесткости , рис. 12.6. Грузы лежат на гладкой горизонтальной плоскости, трение отсутствует. Указание. Так как грузы взаимодействуют вдоль оси лишь друг с другом, то их центр масс неподвижен при колебаниях грузов. Принять его координату по оси равной нулю.

Ответ: .