Метод найменших квадратів для отримання динамічних дискретних моделей вхід-вихід
Розглянемо при k=1,…,K скалярний процес y(k), який залежить від скалярного процесу u(k), і поставимо задачу виявити закон перетворення u(k) в y(k) на основі даних вхід-вихідного експерименту:
{(
)}.
Будемо шукати лінійну математичну модель, яка у середньоквадратичному змісті найкращим способом відтворює отримані дослідні дані. Зафіксуємо n і будемо шукати вхід-вихід модель вигляду
(4.19)
Це означає, що необхідно знайти коефіцієнти a1,…an, c1,…cn рівняння(4.19).
Якщо
yM(k)-вихід,
який обчислюється за моделлю і відповідає
входу
ū(k), то
величину
будемо розглядати як міру відхилення
дійсного закону поведінки процесу від
математичної моделі. Такий її вигляд
пояснюється тим, що обрана модель може
передбачити реакцію системи для
.
Як побачимо далі, обраний порядок моделі n має задовольняти умову K≥3n, що забезпечить існування розв’язку задачі.
Перепишемо (4.19) у вигляді
(4.20)
і введемо позначення:
=col (
1
,…,
n,
n+1,…
2n)=col(-a1,…,-an,
c1,…
cn),
,
yi=
(i+n)
для i=1,…,N,
де N=K-n.
Модель буде прогнозувати реакцію системи в і-му досліді за формулою
,
і=1,...,N.
(4.21)
Для
кожного і
значення вектор-функції
відомі. Тому задача зводиться до
знаходження такого значення векторного
параметра
,
яке мінімізує середньоквадратичну
похибку:
.
Маємо
набір входів та виходів {(
,
i),i=
}={(
),
i).
Для
i-го
експерименту одержимо
похибку Ei(
)=
ui,)-
i.
У попередньому параграфі показано, що
необхідна умова екстремуму
зводиться до розв’язання системи
лінійних алгебраїчних рівнянь (4.7), тобто
відносно
координат невідомого вектора
.
У
даному випадку матриця R
має вигляд
... 
…
... 
...
R= ………………………………..…………..….....
...
…
і вектор
.
Нехай розв’язком цієї задачі є 10,..., 2n0. Тоді параметри моделі (4.19) визначаються як aj=- j0 і cj= n+j0 для j=1,2,…n.
Для оцінки якості отриманої моделі можна обчислити значення функціонала J( 0). Якщо отримане число розглядається як мале, то задача розв’язана. Якщо ж ні, то збільшують n- порядок моделі і проводять нові обчислення.
Приклад.
Для
системи N=8
разів реєструються вхідні впливи на
систему
і відповідні їм вихідні значення
.
Побудувати дискретну лінійну модель
вхід-вихід.
Розв’язання.
Виберемо порядок моделі
.
Тоді вона набуде вигляду
. Використовувати її можна для
,
щоб спрогнозувати відповідні відомі
значення реакції системи. При
;
;
;
;
;
.
Система похибок має вигляд
Якщо її
записати в матричному вигляді, одержимо
.
Невідомий вектор
знаходимо, розв’язуючи систему лінійних
алгебраїчних рівнянь
четвертого
порядку методом Жордана-Гаусса. Програмна
реалізація цього методу дозволить
знайти
Тут матриці
,
,
=col(-a1,-a2,
c1,
c2).
Відповідь: модель вхід-вихід має вигляд
у(к+2)=-0.6у(к)-0.2у(к+1)+1.6u(к)+0.8u(к+1).
Завдання 4.4 Побудувати дискретну лінійну модель вхід – вихід за показниками входів у систему та її реакцій , що вимірювалися в однакові моменти часу разів (дані з табл. 4.4).
Таблиця 4.4
Вар. |
Значення вхід-вихідних експериментів |
|
1 |
2 |
|
1
|
U={1, 0, 2, -1, -1, 3, 2, 1, 0, 1} Y={3.2;0.98;1.17;2.81;3.2;-1.2;0.9;-3.2;2.3;1.1} |
|
2
|
U={-1.1;-1.2;0.9;3.1; -1.25; 1.28; 0.93; 3.21; 1.1; 1.3} Y={1.2;2.1; 3.0;4.1;2.8;9.3; 3.5; 6.1;7.2;1.3;2.8} |
|
3
|
U={-1.4; -1.2; -1; -0.7; -0.4; 0.08; 0.57; 0.99; 1.26; 1.3; 1.15; 0.87; 0.5} Y={-0.56; -0.95; -1.26; -1.414; -1.32; -0.96; -0.41; 0.186; 0.696; 1.01; 1.16; 1.2; 1.2} |
|
Продовження таблиці 2.1 |
||
1 |
2 |
|
4 |
U={-0.98; -1.01; -0.983; -0.816; -0.455; 0.126; 0.79; 1.367; 1.674; 1.585; 1.163; 0.519; -0.236} Y={0.183; 0.676; 0.237; -0.068; -0.169; -0.034; 0.216; 0.453; 0.507; 0.284; -0.189; -0.811; -1.5} |
|
5 |
U={1.1; 1.8; 2.1; 3.6; 4.1; 4.8; 5.2; 5.9 ;6.1; 6.4} Y={0.1; 0.8; 0.9; 1.7; 2.6; 3.4;4.3; 5.0; 5.8; 6.3;} |
|
6 |
U={0.1; 0.4; 0.9; 1.2; 1.7; 2.1; 2.3; 2.7; 3.1;3.4;} Y={1.2; 1.8; 2.1;2.4; 2.7; 2.9; 3.1; 3.5; 3.8; 4.1;} |
|
7 |
U={1.1; 2.1; 2.6; 2.8; 3.2; 3.5; 3.9; 4.1; 4.5; 4.8} Y={0.1;0.2;0.9;1.2;1.3;1.4;1.5;1.8;2.3;2.72} |
|
8 |
U={-1.2;-0.6;-0.21;-0.03;0.12;0.37;0.8;0.92;1.13} Y={1.2; 1.7; 2.8; 3.15; 4.21; 5.46;6.18;4.21; 3.95} |
|
9 |
U={0.1 ;0.6; 1.2;1.8; 2.2; 2.4;2.6;3.0;3.2; 3.4;3.6} Y={1.1;1.3;2.1;2.5; 2.8; 2.99; 3.1;3.7;4.15;5.1;5.9} |
|
10 |
U={3.2;2.8;1.6; 1.55;1.9;2.01;2.5;2.7;3.1;3.6;4.1} Y={6.3; 5.2; 3.1;2.9; 1.5;2.2; 3.8; 3.9; 4.1; 4.9;5.2} |
|
11 |
U={0;0.025;0.0062;0.016;0.039;0.097;0.244; 0.61; 1.52; 3.8; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={3.2*10-6;4.8*10-6;6.9*10-6;9.8*10-6;1.3*10-5; 1.9*10-5; 2.6*10-5; 3.6*10-5; 5*10-5;7*10-5;1*10-4; 1.5*10-4; 2.5*10-4; 4.8*10-4} |
|
12 |
U={0; 0.025; 0.0062; 0.016; 0.039; 0.097; 0.244; 0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={2.4*1019;1.7*1019;1.1*1019;8.1*1018;5.8*1018; 4.2*1018; 3.1*1018; 2.2*1018; 1.6*1018; 1.1*1018; 7.8*1017; 5.1*1017; 3.1*1017; 1.7*1017} |
|
13 |
U={3.1;3.8;4.1;4.6;4.1;4.8;5.2;6.9;7.1;8.4;9.3;10} Y={0.15; 0.85; 0.95; 1.75; 2.65; 3.45;4.35; 5.55; 5.85; 6.35;7.25;8.55} |
|
Продовження таблиці 2.1 |
||
1 |
2 |
|
14
|
U={0;0.025;0.0062;0.016;0.039;0.097;0.244;0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={3.6*1020;1.7*1020;7.9*1019;4*1019;2*1019; 1.1*1019; 5.9*1018; 3.2*1018; 1.7*1018; 8.8*1017; 4.5*1017; 2.2*1017; 1.0*1017; 4.3*1016} |
|
15
|
U={0; 0.025; 0.0062; 0.016; 0.039; 0.097; 0.244; 0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={8*10-27;1.7*10-26;3.6*10-26;7.4*10-26; 1.5*10-25;2.8*10-25;5.6*10-25;1.1*10-24;2.3*10-24; 5*10-24;1.2*10-23;3*10-23; 9*10-23;3.5*10-22} |
|
16
|
U={0; 0.025; 0.0062; 0.016; 0.039; 0.097; 0.244; 0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={1.9*10-3;2.8*10-3;4.2*10-3;6*10-3;8.5*10-3; 1.2*10-2;1.7*10-2;2.5*10-2;3.7*10-2;5.6*10-2; 9*10-2; 1.53*10-1; 2.8*10-1; 5.9*10-1} |
|
17
|
U={0; 0.025; 0.0062; 0.016; 0.039; 0.097; 0.244; 0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={2.4*1019; 1.7*1019; 1.2*1019; 8.2*1018; 6*1018; 4.3*1018; 3.2*1018; 2.3*1018; 1.7*1018; 1.3*1018; 9.7*1017; 7.3*1017; 5.5*1017; 4.3*1017} |
|
18
|
U={0; 0.002; 0.006; 0.015; 0.04; 0.097; 0.244; 0.61; 1.52; 3.81; 9.53; 23.8; 59.6; 149} Y={2*108; 2*108; 2.0*108; 2.0*108; 2.0*108; 2.1*108;2.12*108;2.2*108;2.3*108;2.5*108; 2.8*108;3.5*108; 5.15*108} |
|
19
|
U={0.2;0.6;1.5;4;9.7;12;61;15;38;95;23;6;1.4;0.8} Y={6.3*1016;6.4*1016;6.5*1016;6.5*1016;6.6*1016; 7*1016;7.35*1016;7.8*1016;8.5*1016;9.4*1016; 1.05*1017; 1.18*1017; 1.32*1017} |
|