Часові характеристики динамічної ланки

Часовою, або імпульсною, характеристикою динамічної ланки називають реакцію ланки на , функцію Дірака, позначаючи її як . При цьому схема експерименту має вигляд –

Рисунок 5.3

З'ясуємо, що являє собою часова характеристика, тобто чому її називають характеристикою динамічної ланки?

Для цього розглянемо динамічну ланку з передатною функцією

Рисунок 5.4

У цьому випадку відповідно до (5.23) маємо

.

У такий спосіб .

Одержуємо, що передатна функція ланки – це зображення за Лапласом імпульсної характеристики динамічної ланки. У свою чергу, імпульсна характеристика може бути визначена за передатною функцією

при використанні розкладання у формі Хевісайта і зворотного перетворення Лапласа.

Знання імпульсної характеристики дозволяє визначити реакцію динамічної ланки на сигнал будь-якої форми.

Перехідною характеристикою, або перехідною функцією динамічної ланки називають реакцію динамічної ланки на , позначаючи її як . При цьому схема експерименту має вигляд –

Рисунок 5.5

Для аналізу перехідної характеристики розглянемо динамічну ланку з передатною функцією :

Рисунок 5.6

У цьому випадку відповідно до (5.23) маємо

.

За теоремою про інтегрування оригіналу маємо

.

Перехідна функція є інтегралом за часом від імпульсної характеристики і навпаки:

.

Перехідна характеристика динамічної ланки може бути визначена за передатною функцією

.

Передатна матриця і канонічна декомпозиція

Розглянемо лінійну дискретну стаціонарну модель системи

x(k +1) = Ax(k) + Bu(k), (5.21)

y(k) = Cx(k) (5.22)

і з'ясуємо, як залежить образ дискретного перетворення Лапласа виходу y[0,∞] від образу Лапласа входу u[0, ∞].

Нехай x(k;x⁰,u[0,∞]) - процес, обумовлений рівнянням (5.21) і відповідний входу u[0, ∞] та початковому стану x⁰. Нехай x(λ) - образ Лапласа цього процесу. Застосувавши перетворення Лапласа до обох частин рівності (5.21), (5.22) і з огляду на властивості цього перетворення, одержуємо

λx^L(λ) – λx⁰= Ax^L(λ) + Bu(k), (5.23)

y(k)= Cx(k). (5.24)

З (5.23) випливає х(λ) = (λI - A)^-1Bu(λ) + (λI- A)x⁰ і

y^l(λ) = C(λI - A)^-1Bu(λ) + λC(λ I - A)^-1x⁰ (5.25)

Для х⁰ = 0 одержуємо

y^L(λ) = W(λ)u(λ), (5.26)

де W(λ) = C(λI - А)^-1В.

Матриця W(λ) у (5.26) називається передатною матрицею системи (5.21), (5.22).

Згідно з (1.9) передатна матриця може бути обчислена як

.

Отже, елементами матриці W(λ) є раціональні функції від λ, причому степінь полінома в чисельнику кожної з них менше степеня полінома в знаменнику.

Поряд із системою (5.21), (5.22) розглянемо систему z(k+1)= , (5.27)

y(k)= z(k). (5.28)

Системи (5.21), (5.22) і (5.27), (5.28) називаються еквівалентними, якщо існує така невироджена матриця R, що заміна змінних стану за формулою x=Rz приводить систему (5.21),(5.22) до вигляду (5.27),(5.28).

Знайдемо, як виражаються матриці еквівалентної системи через матриці A, B, С. Маємо

Rz(k+1)=ARz(k)+Bu(k),

y(k)=CRz(k). (5.29)

З (5.29) одержуємо z(k+1)=R^-1ARz(k)+R^-1Bu(k). Отже, = R^-1AR, = R^-1B і = CR.

Передатні матриці еквівалентних систем рівні. Дійсно, (λ) = (λI - )^-1 = CR(λ I - R^-1AR)^-1R^-1B =

=C(R(λ I - R^-1AR)R^-1)^-1B = C(λ I - A)^-1B = W(λ).

Матриці A, В і С характеризують, з одного боку, структуру лінійної системи, а з іншого - зв'язок між входом, станом і виходом. Керованість і спостережуваність також відбивають характер зв'язків стан-вхід і стан-вихід. Тому побудова матриць A, В, С і властивості керованості і спостережуваності взаємозалежні. З'ясуємо цю залежність.

Підпростір L Х називається інваріантним підпростором системи (5.21) щодо керувань u(k), якщо при будь-яких u(k) розв’язок x(k), що відповідає початковій умові x(0) = х⁰ L, при всіх k належить L.

Позначимо матрицю N_u=(В, AВ, . . . , А^п-1В). Нехай rgN_u=s і E_s - підпростір, натягнутий на стовпці матриці N_u. Тоді для будь-якого стовпця b_r матриці B вектор A^lb_r для l≥s лінійно виражається через вектори b_r, Ab_r, . . .,A^s-1 b_r.

Лема. Підпростір E_s є інваріантним щодо керувань u(k).

Доведення. Нехай x⁰ L і, отже, може бути представлене як х⁰=λ₁p₁+...+λ_sp_s, де р₁,...,p_s - лінійно незалежні стовпці матриці N_u. Маємо

. (5.30)

За умовою при будь-якому k≥s стовпці A^kp_i і A^kb_r належать Е_s, тому з (5.30) випливає, що x(k) E_s при будь-якому k, що доводить лему.

Введемо новий базис у просторі станів. За перші s його векторів візьмемо будь-які s лінійно незалежних p₁,...,p_s з E_s. Інші р_s+1,…,р_n виберемо довільно. Позначаючи коефіцієнти розкладання довільного вектора x в цьому базисі через ₁,..., _п, будемо мати

x= , (5.31)

де R - матриця, стовпцями якої є р₁ ,... ,р_n. У новому базисі рівняння системи (5.21) набуває вигляду

(k+1)=R^-1AR (k)+R^-1Bu(k)= x(k)+ u(k). (5.32)

Лема. Матриці і мають вигляд

де ₁ – ss-матриця та ₁ – sm - матриця. При цьому rg( _{1, 1 1},…, ₁^s-1 ₁)=s.

Доведення. У змінних _1,..., _n=0 – s-вимірна площина, що є перетинанням п — s гіперплощин

_s+1 = 0,… , _n = 0, (5.33)

є інваріантним підпростором системи (5.32), оскільки з (5.33) випливає, що вектор, який має в новому базисі вигляд ( ₁,...,. _s,0, ...,0), у старому базисі записується як x=p_{1 1} + ... + p_{s s} і, отже, належить Е_s.

Припустимо супротивне, що є якісь відмінні від нуля _ij для s+1≤i≤n, 1≤j≤s і _ij для s+1≤i≤n, 1≤ j ≤ m. Тоді можна підібрати такі значення координат ₁⁰,..., ⁰_s початкового стану ⁰ Е_s, де ⁰_s+1=0,..., ⁰_n=0, і таке u(k), що для розв’язку (k) рівняння (5.32) при деяких k та i≥s+1 буде _i(k)=0. Це суперечить інваріантості підпростору Е_s.

Далі розглянемо матрицю

_u=( , ,…, ^n-1 )=(R^-1B,R^-1AB,…,R^-1A ^n-1B)=R^-1N_u.

Оскільки R - невироджена матриця, то rg _u=rgN_u=s. Маємо

.

Оскільки rg _u=s і всі рядки з (s+1)-го до n-го містять лише нульові елементи, то rg( ₁, _{1 1},..., ₁^n-1 ₁)=rg( ₁, _{1 1},..., ₁^S-1 ₁) = s, що і треба було довести.

З цієї леми випливає, що якщо система не є цілком досяжною, то вона допускає декомпозицію такого типу, що частина координат її вектора станів не залежить від вхідного впливу, а інші координати відповідають цілком керованій системі.

Розглянемо питання про декомпозиції представлення з матрицями А та С щодо властивості спостереження.

Підпростором неспостережуваності системи

x(k+1) = Ax(k),

y(k) = Cx(k) (5.34)

називається множина таких x⁰ Х, що відповідний їм вихід y(k) = CA^k x⁰ тотожно дорівнює нулеві.

Позначимо підпростір неспостережуваності через Е_r^no, де r - його розмірність. З визначення Е_r^no випливає, що якщо x⁰ Е_r^no ,то

Cx⁰ = 0,

CA⁰x⁰=0,

………………… (5.35)

CA^n-1x⁰ = 0.

Отже, Е_r^no являє собою множину таких x⁰, які ортогональні рядкам матриці спостереження. Підпростір Е_r^no інваріантний щодо перетворення A.

Дійсно, якщо для деякого х⁰ виконуються співвідношення (5.35), то для х¹=Ах⁰ ,очевидно, справедливі всі співвідношення в (5.35), крім останнього. Але і воно також виконується, тому що з огляду на розкладання Aⁿ= , де _A()=ⁿ+ характеристичний поліном матриці A, одержуємо СА^n-1x¹=СА^пх⁰ = - = 0.

Виберемо базис в X . Першими p₁,...,р_r візьмемо лінійно незалежні вектори з Е_r^no , а інші p_r+1 ,...,р_n доповнимо до базису. Зробивши заміну змінних х=R = , одержимо систему з матрицями =R^-1AR і =CR. Підпростір Е_r^no у нових змінних описується співвідношеннями

_r+1 = 0, _r+2 = 0, ..., _п = 0. (5.36)

Стверджується, що матриці і мають вигляд

= , =(0, C₂), (5.37)

де A₃ - (r × r)-матриця; С₂ - (1 × (п - r))- матриця і

rg = n – r,

тобто пара матриць С₂ і A₃ є повністю спостережуваною.

Для доведення припустимо супротивне, тобто що існує відмінний від нуля _qj, де r+1≤q≤п, 1≤j ≤ r. Візьмемо ⁰ Е_r^no вигляду ⁰ = (0,..., 0, _j, 0,..., 0), де _j ≠ 0. Тоді одержимо ¹= ⁰ = _j , де -j-й стовпець матриці . Оскільки ≠ 0 і _j ≠ 0, то компонента _q, q r+1, відмінна від нуля, тобто відповідно до (5.36) ¹ не належить Е_r^no, що суперечить інваріантності Е_r^no відносно .

Матриця має вигляд (5.37), оскільки якби існував елемент ≠ 0 для 1≤j≤r, то завжди можна було б підібрати такий x⁰ Е_r^no, що виконувалася б рівність Сx⁰=0.

Твердження про повну спостережуваність пари A і С доводиться аналогічно до доведення керованості пари А та В.

Нарешті, здійснимо декомпозицію представлення з матрицями A, В і С, що грунтується на одночасному врахуванні властивостей керованості і спостереження. Для цього виберемо в X базис у такий спосіб. Нехай перетин простору Е_к і Е_r^no має розмірність k - п⁰. Тоді за перші k- n⁰ векторів виберемо вектори з Е_k∩Е_r^no. Наступні n⁰ векторів виберемо з E_k\Е_r^no. Далі r+ п⁰ - k векторів візьмемо з Е_r^no\E_k і решту п - r - n⁰ векторів доповнимо до базису в X. На підставі викладеного декомпозиція за властивістю спостережуваності приведе до матриць вигляду

= , = , =(0, С₁, 0, С₂),

де A₁₁, A₂₂, A₃₃ і A₄₄ - квадратні матриці, розмірність яких дорівнює k–n⁰, n⁰, r+n⁰-k і п-r-n⁰ відповідно.

У результаті декомпозиції за властивістю керованості прийдемо до таких матриць:

= , = , (5.38)

=(0, С₁, 0, С₂).

Як показано вище, матриця

має ранг k, тобто всі k її рядків лінійно незалежні. Тоді ранг матриці (В₂,А₂₂В₂,...,A₂₂^k-1B₂) дорівнює числу її рядків n⁰, тобто за лемою ранг матриці (В₂,А₂₂В₂,...,А₂₂^n0-1В₂) також дорівнює n⁰. Аналогічно можна показати, що ранг матриці

дорівнює n⁰. Тому система

z(k+1)= A₂₂z(k)+ B₂u(k), (5.39)

y(k)=C₁z(k)

є повністю керованою і спостережуваною.

Представлення системи, у якому матриці A, В та С мають вигляд (5.38), де пара (A₂₂, В₂) є повністю керованою, а пара (С₁, A₂₂) - повністю спостережуваною, називається представленням у формі канонічної декомпозиції.

Якщо розбити компоненти вектора на чотири групи = соl(x^{+ -}, x⁺⁺, x^--, x^--+), розмірність яких дорівнює k-n⁰, n⁰, r+ n⁰-k і n-r-n⁰ , то поведінка x^+- описується повністю керованою, але неспостережуваною системою, поведінка х⁺⁺ - повністю керованою і повністю спостережуваною, поведінка x^--- некерованою і неспостережуваною, а поведінка х^-+ - некерованою, але повністю спостережуваною системою. У такому розумінні можна говорити про декомпозиції вихідної системи на підсистеми з зазначеними властивостями.

Врешті-решт уся вхід-вихідна поведінка системи описується її повністю керованою і повністю спостережуваною підсистемою (5.39).

Теорема (теорема Калмана). Передатна матриця системи (5.21), (5.22) дорівнює передатній матриці повністю керованої і повністю спостережуваної підсистеми, що описується матрицями A₂₂ , В₂ і С₁ форми канонічної декомпозиції, до якої зводиться ця система.

Доведення. Оскільки передатна матриця не залежить від базису в просторі станів, доведення достатньо провести для представлення у формі канонічної декомпозиції. Покажемо, що виконується рівність

(λI_n - )^-1 = C₁(λI_n0 – A₂₂)^-1B₂ . (5.40)

Оскільки - блочно-трикутна матриця, то =(λI_n–A₂₂)^-1 також є блочно-трикутною, причому нульові блоки останньої стоять на місці блоків A₂₁, A₃₁, A₄₁, A₃₂, A₄₂ і A₄₃ матриці . Позначимо через _ij блоки матриці (λI_n – )^-1, що стоять на місці блоків A_ij матриці . Тоді будемо мати

(λI_n– )^-1 =

=(0,С₁,0,С₂) × × =

=(0, С₁, 0, С₂)×

Матрицю ₂₂ знайдемо з умови

I_n= . (5.41)

Оскільки з (5.41) випливає, що ₂₂(λI_n0 - A₂₂)=I_n0, одержуємо ₂₂ = (λI_n0 - A₂₂)^-1.

Таким чином, рівність (5.40) доведено.

З теореми Калмана випливає, що закон перетворення входу системи у вихід цілком визначається повністю керованою і повністю спостережуваною моделлю.

Елементи теорії стійкості за Ляпуновим

При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають визначеним умовам, необхідно знати, як буде поводитися об'єкт при невеликих перерозподілах сил або зміні початкових умов. Той об'єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги (різних початкових умовах) рух маятника повинен бути стійким періодичним. Крило літака повинне зберігати своє положення навіть при малій зміні початкових умов.

Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишиться колишнім або зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишилося невизначеним поняття «мала величина».

Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об'єкта описується системою n диференціальних рівнянь (5.21) першого порядку, записаних у нормальній формі:

(5.42)

Якщо об'єкт має один ступінь свободи, то його рух описується системами:

нелінійною (5.43)

або лінійною (5.44)

У системі (5.42) невідомими є функції часу , у системах (5.43) і (5.44) — і . Нехай функції визначені в n - вимірній кулі радіуса для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих , що є розв’язком системи (5.42). Доповнимо систему (5.42) початковими умовами. При існує набір чисел , узятих з n -вимірної кулі , що дозволяє єдиним способом одержати c₁, c₂, …, c_n . Функції при цьому переходять у єдину систему часткових розв’язків системи (5.42):

Надалі доведеться змінювати початкові умови і відповідно часткові розв’язки. При цьому припускаємо, що ці зміни не виводять функції і початкові умови з області визначення правої частини рівнянь (5.42). Дамо визначення стійкості розв’язку системи (5.42). Нехай відомий частковий розв’язок системи (5.42) , що відповідає початковим умовам при , . Змінимо початкові умови при . Часткові розв’язки, що відповідають цим новим умовам, позначимо . Функції описують так званий незбурений розв’язок, а - збурений Розв’язання.

Розв’язок системи (5.42) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого заданого як завгодно малого додатного числа можна визначити таке мале додатне число , що при

(5.45)

для всіх і виконується нерівність

, . (5.46)

Якщо при виконанні всіх умов (5.45) хоча б для одного не виконується умова (5.46), тобто , то розв’язок називається нестійким. Якщо при виконанні умов (5.45), (5.46) виконані ще умови

(5.47)

для усіх , то розв’язок називається асимптотично стійким. Якщо серед рівностей (5.47) хоча б одне, наприклад для , не виконано, але виконані всі умови (5.46), то розв’язок називається неасимптотично стійким. Якщо , то говорять про стійкість нульового розв’язку (точки спокою). Якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа можна визначити таке мале додатне число , що при

(5.48)

для всіх t > t₀ і виконуються нерівності

, , (5.49)

то нульовий розв’язок називається стійким за Ляпуновим. Якщо при виконанні всіх умов (5.48) для всіх t>t₀ хоча б одна з умов (5.49) не виконана, то нульовий розв’язок називається нестійким.

Якщо при виконанні умов (5.48) і (5.49) виконані ще умови

(5.50)

для всіх , то нульовий розв’язок називається асимптотично стійким.

Якщо при виконанні умов (5.48) і (5.49) не всі умови (5.50) виконані, то нульовий розв’язок називається неасимптотично стійким.

Якщо говорити про стійкість при зміні силових впливів, то зміна сил відбивається на зміні коефіцієнтів диференціальних рівнянь, що описують рух. Ті системи, розв’язок яких не змінюється при малій зміні коефіцієнтів, називаються грубими. Грубі системи називаються стійкими.

Система диференціальних рівнянь завжди описує рух якогось об'єкта. Тому розв’язок можна називати незбуреним рухом, а — збуреним. Те саме стосується і початкових умов. Нульовому розв’язку зручно поставити у відповідність положення рівноваги або точку спокою. Різниці іноді називають відхиленнями від незбуреного руху. Визначення (5.45)—(5.47) у термінах руху можна сформулювати так.

Незбурений рух називається стійким за Ляпуновим, якщо при будь-яких досить малих змінах на початку заданих умов (початкового положення і початкових швидкостей) усі відхилення від незбуреного руху в усі наступні часи залишаються малими. Рух називається нестійким за Ляпуновим, якщо навіть при як завгодно малих відхиленнях від початкових умов хоча б деякі відхилення від незбуреного руху в подальшому не залишаються малими. Отже, у випадку нестійкості знайдеться принаймні одне зі значень , таке, що при . Незбурений рух називається асимптотично стійким за Ляпуновим, якщо він є стійким, і більш того, усі відхилення від незбуреного руху при мають своєю границею нуль, тобто є нескінченно малими. Можна сформулювати це визначення й у такій формі: незбурений рух називається асимптотично стійким за Ляпуновим, якщо він є стійким, і при цьому всі збурені рухи при мають своєю границею незбурений рух. Незбурений рух називається неасимптотично стійким за Ляпуновим, якщо він стійкий за Ляпуновим і при цьому існує принаймні один збурений рух, що при не має своєю границею незбурений рух.

Рівновага (точка спокою) називається стійкою, якщо усі відхилення від положення рівноваги в подальшому залишаються малими. Якщо ж хоча б одне з відхилень від положення рівноваги (точки спокою) надалі зростає, то рівновага буде нестійкою.

Досить часто різниці називаються збурюваннями (початковими) і позначаються відповідно через і . Тоді умови (5.45), (5.46), (5.47) відповідно можуть бути записані:

, (5.51)

при , (5.52)

і . (5.53)

Порівняння умов (5.51), (5.52), (5.53) з умовами (5.48), (5.49), (5.50) дозволяє питання про дослідження стійкості руху звести до питання про стійкість рівноваги (точки спокою). Умови (5.51), (5.52) можуть бути прочитані так: рівновага називається стійкою за Ляпуновим, якщо для кожного знайдеться таке , що при всіх t>t₀ і виконанні умов (5.52) усі збурювання задовольняють нерівності (5.51). Якщо при цьому виконані умови (5.53), то рівновага є асимптотично стійкою. Доведемо, що умови (5.51), (5.52), (5.53) є умовами стійкості точки спокою. Насамперед побудуємо рівняння, якому задовольняють функції . Оскільки

, , (5.54)

то

Але , за умовою задовольняють систему рівнянь (5.42):

(5.55)

(5.56)

(5.57)

Позначимо

(5.58)

Функції є функціями тільки збурювань, тому що незбурений рух вже обрано. Це, зрозуміло, не означає, що функції не залежать від

Тоді

, . (5.59)

Рівняння (5.59) називаються диференціальними рівняннями збурень. Покажемо, що розв’язком системи (5.59) є функції . Як випливає з (5.58), функції задовольняють умову при t>t₀ , а функції , задовольняють рівняння (5.59) при t>t₀. Дійсно, з одного боку, , а з іншого боку - . Якщо - стійкий розв’язок системи (5.42), то виконані умови (5.45) — (5.47), які можна написати у вигляді (2.1) - (2.3), а це означає, що нульовий розв’язок або положення рівноваги є стійким. Очевидно і зворотне: при виконанні умов (2.1) - (2.3) виконані умови (5.45) - (5.47), тобто розв’язок - стійкий. Тим самим доведена теорема.

Теорема. Для того щоб розв’язок системи (5.42) був стійким, необхідно і достатньо, щоб нульовий розв’язок системи рівнянь збурювань був стійким.

Отже, при заміні різниці функцій за формулою (5.54) рух, описуваний системою функцій , перейшов до положення рівноваги 0,0,...,0 для нової системи рівнянь (5.59). Тепер можна замість задачі (5.45) — (5.47) розглядати задачу про стійкість нульового розв’язку системи

(5.60)

з нульовими початковими умовами

. (5.61)

Наведемо ще один різновид запису визначення стійкості. Введемо вектори з координатами і з координатами . Координати самі є функціями від координат . Функція називається матрицею-функцією. У такому тлумаченні рівняння (5.42) можна записати як

(5.62)

з початковою умовою

. (5.63)

Якщо ввести вектор і вектор , то (5.60) і (5.61) можна записати

(5.64)

з нульовою початковою умовою

. (5.65)

Форма запису рівнянь (5.62)—(5.65) називається векторною або матричною. Рівняння (5.64) є векторною формою рівнянь збурювань. Умови (5.45)—(5.47) стійкості за Ляпуновим накладають обмеження на поводження координат уведених векторів. Тому умови (5.45)—-(5.47) легко замінити умовами, що накладаються на норму вектора.

Норма вектора визначається за формулою

. (5.66)

Як випливає з визначення (5.66), норма — це довжина вектора, початок якого збігається з початком координат.

У термінах норми можна дати визначення стійкості за Ляпуновим. Виконаємо це стосовно системи (5.64) — (5.65). Нульовий розв’язок системи (5.64) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого додатного можна визначити таке , що з нерівності

(5.67)

при всіх t > t₀ виконується нерівність

. (5.68)

Якщо ж при виконанні умови (5.67) умова (5.68) не виконується, то нульовий розв’язок називається нестійким. Якщо при виконанні умов (5.67), (5.68)

,

то нульовий розв’язок (точка спокою) називається асимптотично стійким.