Основні проблеми теорії систем

У теорії систем вивчаються три групи проблем:

1) виявлення і представлення в тих чи інших формах законів динаміки систем;

2) виявлення або оцінювання поточних станів, зокрема, для розв’язання проблем прогнозування еволюції систем;

3) формування входів, що забезпечують необхідне поводження систем.

Метою при цьому є як з'ясування умов, при яких ці проблеми мають розв'язок, так і одержання методів їх знаходження.

Першу групу називають проблемами представлення, або ідентифікації систем. Другу групу називають проблемами спостереження і третю - керованості.

Проблема ідентифікації, по-суті, пов'язана з описом множин U і Y, використовуючи наявну інформацію про реальні процеси і їх взаємодії. Далі постає задача побудови множини станів X і відображень σ і g (або f і g).

Якщо X, f і g задані або ідентифіковані, то можна розпочати вивчення однієї з основних проблем - проблеми прогнозування. Зазвичай становить інтерес прогноз поведінки системи, що спостерігається, тобто виходу y(t). Однак з огляду на зв'язок (3.1) цю задачу можна звести до прогнозу процесу в просторі станів. З (3.2) випливає, що прогнозування x(t) для t>t₀ виявиться можливим, якщо в момент t₀ відомо x⁰. Тому при відомій моделі проблема прогнозування зводиться до задачі оцінки стану системи в необхідні моменти часу. Підкреслимо, що реальна інформація про систему пов'язана лише з вимірами процесів входу і виходу.

Нехай фіксовано вхід u, і для визначення стану в момент t₁ використовується інформація, що подається виходом тільки в момент t₁. Тоді задача зводиться до можливості розв'язання відносно x системи рівнянь g_i(t₁, x) = y_i(t₁), i = 1...., m . Якщо розмірність вектора у дорівнює розмірності вектора x і рівняння в цій системі незалежні, то з неї можна визначити єдиний розв’язок x¹. Однак множина станів системи Х зазвичай буває більшою від множини Y, у чому виявляється, зокрема, складність систем. Для систем, у яких X і Y - скінченновимірні лінійні простори, це виражається в тому, що розмірність X більше від розмірності Y. Тоді розв’язок цієї системи не є єдиним, тобто значенню, що спостерігається, y(t₁) будуть відповідати різні стани, при яких воно може реалізуватися.

Отже, інформації про вихід лише в один момент t₁ недостатньо для відновлення стану в цей момент. У такому випадку для розрізнення станів необхідно розширити обстежувану інформацію, спостерігаючи вихід більше ніж в один момент t, наприклад, на інтервалі [t_0, t₁].

Далі через X[t₀, t₁], U[t₀, t₁] і Y[t₀, t₁] будемо позначати множини процесів {x(• )}, {u(• )} і {y(• )} на інтервалі часу [t₀, t₁] і їх елементи – через x[t₀, t₁], u[t₀, t₁] і y[t₀, t₁] відповідно.

Процес x[t₀, t₁] відповідно до (3.1) однозначно визначає вихід y[t₀, t₁], тобто існує відображення H_u : x[t₀, t₁] -> Y[t₀, t₁]. Якби для H_u існувало зворотне відображення H_u^-1, то будь-який вихід, що спостерігається, y[t₀,t₁] породжувався б єдиним процесом x[t₀,t₁] і задача оцінки станів виявилася б розв'язаною. Для її розв’язання досить знайти H_u^-1. Якщо ж H_u відображає різні x[t₀, t₁] у той самий вихід y[t₀, t₁], то оцінити однозначний стан за цим виходом, як і раніше, неможливо.

Система, для якої існує t₁< ∞ і при цьому відображення H_u є взаємно-однозначним, називається t₀ – спостережуваною.

Відмітимо, що властивість спостереження залежить від конкретного входу u. Тому при оцінюванні стану виникає не тільки задача синтезу відповідного алгоритму, але і задача пошуку входу u, при якому система буде спостережeувана цілком. Разом з тим для лінійних систем спостережуваність не залежить від входів.

Оскільки спостережуваність визначається властивостями відображень σ і g, то в теорії спостереження вивчаються властивості цих відображень, при яких спостережуваність має місце.

З повної t₀-спостережуваності системи випливає можливість розглянути задачу оцінки стану в момент t₀ за виходом, що спостерігався до моменту t₀, наприклад, за у[t_-1, t₀], де t_-1 < t₀. Оскільки g залежить від t, вона відрізняється від описаної вище задачі спостереження.

Задачу оцінки стану за виходом, що спостерігався в попередні моменти часу, Р. Калман назвав задачею реконструкції або задачею оцінювання. Вона ще має назву задачі діагностики.

Наступна основна проблема теорії систем пов'язана з вивченням питань можливості розв'язання задач формування спеціального поводження систем, що викликається необхідністю задоволення певних апріорних вимог, що ставляться до процесів, які проходять у ній. Ці вимоги називають метою, що ставиться перед системою, або її призначенням. При цьому передбачається, що в початковий момент процеси не задовольняють ці вимоги.

Впливати на поводження системи можна тільки процесами-входами. Тому у множині входів виділяється підмножина, елементи якого формуються суб'єктом. Множина входів розбивається на дві підмножини U₁ і U₂, одна з яких, та що не залежить від суб'єкта, називається збуреннями, а інша - керуваннями.

Модель системи, мета й інформаційні дані, на основі яких повинна розв’язуватися задача визначення керувань, які забезпечують досягнення цієї мети, називається проблемою керування.

Вимоги на поводження системи, що звичайно задаються як обмеження, які накладаються на процес-вихід, доцільно формулювати у вигляді вимог на процес у просторі станів.

Однією з найважливіших задач теорії керування є так звана двоточкова задача. Нехай мета полягає в тому, щоб у момент t₁ > t₀ система перебувала у стані x¹. Якщо в момент t₀ вона перебувала у стані х₀ , то потрібно знайти такий вхід u, щоб виконувалася рівність

x¹ = σ(t₁; t₀, x₀, u). (3.8)

Якщо фіксувати (t₀, x¹) і змінювати x¹, то для деяких (t₁, x¹) рівняння (3.8) відносно u може бути розв'язане, а для інших - ні.

Система називається (t₀,х°) - глобально досяжною, якщо для будь-якого x¹ існують t₁(x¹) < ∞ і u, що задовольняють рівняння (3.8 ).

Система називається (t_1,х¹)- глобально керованою, якщо для будь-якого х° існують t₀(x°) > - ∞ і u такі, що виконується співвідношення (3.8).

Якщо можна зазначити скінченний окіл точки х°, такий, що для всіх x¹ з цього околу виконуються умови досяжності, то говорять про локальну досяжність. Аналогічно визначається локальна керованість.

Важливою проблемою аналізу систем є проблема стійкості. Вона виникає при вивченні питання, чи буде система виконувати свою функцію і призначення в умовах, коли виникають різні збурення. Нехай призначення системи полягає в перетворенні заданого входу u⁰, що породжує процес x⁰ , у заданий вихід у⁰. Якщо через якісь обставини процес x у просторі станів не збігається з x⁰, тобто x(t)-x°(t)= ∆x(t) не дорівнює нулю, то. природно, виникає питання, чи збігається в якому-небудь змісті процес y(t) = g(t, x(t)) до процесу y⁰(t) = g(t, x⁰(t)) при t -> ∞ і t > t₀. Зазначена збіжність буде мати місце, якщо σ(t; t₀, x°+∆x(t₀), u) буде збігатися до σ(t; t₀, x⁰, u). Процес x⁰ називається незбуреним рухом системи, а процес x(t) - збуреним. Вивчення властивостей відображення σ або функції ƒ, що забезпечують зазначену збіжність процесів або їх близькість, є предметом теорії стійкості.

Багато інших проблем теорії систем є деталізацією основних сформульованих вище проблем. Ці проблеми виникають при синтезі систем з необхідними властивостями.