6 . Необходимые элементы математического анализа.

Интерполяция, аппроксимация, частотная фильтрация, распознавание, надежность процедуры распознавания с использование теории вероятности.

Когда возникли ЭВМ, достижения математиков стали доступны всем инженерам. По этому студентам надо знать важнейшие практические достижения в этой области.

6.1 Интерполяция Ньютона, Лагранжа.

В

Исаак Ньютон (1643 - 1727). Сын бедного крестьянина. Величайший ум человечества. Открыл Закон всемирного тяготения. В том числе дал метод нахождения коэффициентов интерполирующего полинома.

Жанн Лагранж. (1736-1813). Сын военного. Против воли отца увлекся математикой.

Величайший математик 18 века.

ыше (в разд. 4) была рассмотрена процедура интерполяции для рекуррентных точечных отсчетов. Однако данные часто заданы таблично, и шаг отсчетов не обязательно имеет одинаковые интервалы. В этом случае процедуры интерполяции более сложны. Ими занимался еще И. Ньютон см рис 6.1), Задачей увлекались другие математики, в том числе Ж. Л. Лагранж, см. рис 6.2, Он показал, что для произвольно заданного набора Х_iY_i, всегда существует только один полином G_n(x), обеспечивающий выполнение поставленной задачи:

G_n(x) = sum(y_iF_i(x), суммирование от i=0 до i=n. По методу Лагранжа его коэффициенты F_i имеют вид:

а у_i - заданные значения графика в точках х_i. Соединяются сразу все точки. Результат совпадает с полиномом Ньютона.

Процедура интерполяции большого числа точек получается сложной, поэтому используют кусочное разделение всего интервала оси Х (ординат) на части и в каждой проводят интерполяцию. Возможные разрывы функции сшивают по границам.

Интерполяция входит в стандартный набор вычислительных программ. Сегодня обычно используют вариант Сплайн интерполяции. На Сплайн полином накладываются дополнительное ограничение:

, где f¹¹(t)-вторая производная интерполирующего полинома. Это ограничение минимизирует мощность колебаний. Степенью сплайна называется степень аппроксимирующего полинома. Напомним, что интерполирующая функция обязана проходить через все заданные точки X_iY_i, а интервалы х_i не обязательно равномерны.

Пример сплайн интерполяции по программе МатЛаб показан на рис 6.3.

Процедуры с интерполирующим фильтром гарантирует ее спектральный состав. Классическая интерполяция Ньютона гарантирует только полиномиальное воплощение.

6 .2. Аппроксимация Гаусса.

Гаусс Карл Фридрих (1777 - 1855). Его называли "королем математики 19го века". Дед бедный фермер. Отец – садовник, умер до рождения сына. Воспитывала бабушка. В 25 лет профессор Гетингентского университета. Опубликовал работы по алгебре, геометрии, анализу, теории комплексных чисел, теории вероятности, астрономии, геодезии, механике. С 1825 года член С-Петербургской А.Н. В 1823 предложил метод наименьших квадратов в астрономии и геодезии. В 1833 изобрел и построил электрический телеграф. Изучил русский язык, когда ему было 62 года.

Гаусс (Рис 6.4).

При интерполяции искомая функция обязана проходить заданные точки. Форма кривой жестко ограничена полиномами. При аппроксимации искомая кривая не проходит через заданные точки, но должна "наименее" от них уклоняться. Форма такой кривой должна задаваться зарание априорно, но она произвольна. У Гаусса это был эллипс орбит планет. Орбита имела набор оптимизируемых параметров (масштаб, сдвиг, наклон), их подбор обеспечивал наименьшее уклонение.

Предположим, что мы имеем набор (i) экспериментально измеренных значений Ф(x_i) в точках x_i (i=1,2…к) и пытаемся их совместить с заранее выбранной функцией f(х,a,b), где "а,b" – оптимизируемые параметры. Представим сумму квадратов ошибок расхождения в виде:

(или )

Будем изменять "а,б" до достижения минимума. (Можно работать не с набором экспериментальных отсчетов, а с экспериментальным графиком. Тогда минимизации подлежит интеграл квадрата разности. Процедура остается без изменений).

Для нахождения искомых "а б" систему уравнений необходимо дифференцировать по "а" и "б", а результаты приравнять нулю: так находится точка MIN.

,

Полученные уравнения называется "нормальными". Их решение дает значения оценок а^, б^. Качество Аппроксимации определяется суммарным квадратом остаточных ошибок (невязкой Q_мин):

(или )

Еще раз обратим внимание, что в качестве искомой мы используем заранее известную, эталонную функцию с набором оптимизируемых параметров. В движении планет это эллипс. В теории распознавания (и при выделении сигнала в шумах) это эталонный образ. При обработке графиков лабораторных данных это обычно полиномы. В любом случае функция подбирается на основе априорных знаний или эвристически. Острым остается вопрос правильности ее выбора. Разумным критерием оценки качества является анализ величины невязки Q.

Качество найденной функции может оказаться плохой, с большой невязкой Q. Тогда предполагают, что искомая функция состоит из набора эталонов. Этот набор может быть частью базисного ряда. Впервые они были введены Фурье (1768 - 1830) в виде набора синусоид. Набор синусоид хорош для колебательных сигналов. Если ожидается импульсный вид, то при аппроксимации целесообразно применять полиномы Лежандра (Р), Лагерра (L), Эрмита (H), Чебышева (T).

Пусть мы использовали k первых членов базисного ряда и определили невязку Q_k. Для оценки качества аппроксимации увеличим число членов на единицу (используем k+1 членов) и найдем Q_k+1. Если Q_k и Q_k+1 отличаются незначительно, то число членов ряда выбрано правильно.