4.Теорема Гейла про насиченість

Вихідними дугами мережі називаються дуги, що ведуть у вихід . Для довільної множини проміжних вершин позначимо через сукупність вихідних дуг, що виходять із .

Визначення. Повною потребою множини називається сума пропускних здатностей всіх дуг, що належать .

Визначення. Величину часто називають пропускною здатністю множини й позначають через .

Теорема 2. Для того, щоб існував потік, що насичує всі вихідні дуги мережі, необхідно й достатньо, щоб для будь-якої множини проміжних вершин його повна потреба не перевищувала його пропускної здатності :

(4.9)

Доказ.

1. Необхідність.

Допустимо, що існує потік, що насичує всі вихідні дуги. Тоді для будь-якої множини проміжних вершин він насичує, зокрема, і дуги, що ведуть у вихід тільки з . У той же час кількість потоку, що ввійшов в , не перевершує пропускної здатності цієї множини. Ця кількість потоку повинна цілком піти з по всіх дугах, що ведуть із безпосередньо на вихід й, можливо, по деяких інших дугах. Отже, .

2. Достатність.

Обернено, нехай умову (4.9) виконано. Пропустимо по нашій мережі максимальний потік і доведемо, що він насичує всі вихідні дуги.

Зробимо позначки вершин способом Форда  Фалкерсона. Позначимо через множину всіх непомічених вершин; через  множину, отриману з видаленням виходу . Згадаємо, що максимальний потік насичує всі дуги, що заходять у множину (і, отже, що заходять в) і залишає вільним всі дуги, що виходять із . Множина всіх вихідних дуг можна розбити на дві частини Це, по-перше, вихідні дуги, початок яких лежить поза й, отже, позначено. Вони насичені  інакше їхній кінець був би позначений. По-друге, це сукупність всіх вихідних дуг, що виходять із множини . Їхня пропускна здатність дорівнює . Всі дуги, що виходять із не прямо на вихід , вільні, а всі дуги, що заходять в , насичені. По дугах, що заходить в , іде потік , і він не може вийти з . Отже, він може вийти з лише по множині дуг, що ведуть із безпосередньо на вихід , оскільки виходить із приєднанням виходу . Цей потік , рівний , не може бути більше пропускної здатності всіх дуг з . Виходить, менше або дорівнює . Далі за умовою (4.9) маємо . Таким чином, і , тобто всі дуги множини насичені.

Литература

1. Тевяшев А. Д., Головко Н.А.Функціональний аналіз у прикладах та задачах: Навч.посібник.-Харків:ХТУРЕ,1998.-140с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Элементы теории функций и функционального анализа. - 8-е изд.Издательство: Физматлит, 2012-572с.

3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа: Учебное пособие.2-е изд.,стер.,2009. – 272с.

4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1988.

5. Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П.Методы решения задач по функциональному анализу.-Издательство:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2012.-480с.

Питання

1. Який граф називається транспортною мережею.

2. Що називається потоком.

3. Формула величини потоку.

4. Поняття пропускної здатності.

5. Що таке вихідні дуги.

6. Означення пропускної здатності. Сума пропускної здатності.

16