ВСТУП

Моделювання – найпотужніший універсальний метод дослідження та оцінювання ефективності різноманітних систем, поведінка яких залежить від дії

випадкових чинників.

Аналітичне моделювання полягає у побудові та дослідженні математичних моделей. У його основу покладено ідентичність форми рівнянь та однозначність співвідношень між змінними в рівняннях, які описують оригінал та модель.

Недоліками більшості аналітичних моделей, побудованих на основі понять теорії масового обслуговування, є використання в них значних спрощень: зображення потоку замовлень як пуассонівського або найпростішого, припущення про показниковий розподіл часу обслуговування, неможливість обслуговування замовлень одночасно кількома каналами обслуговування тощо. Такі спрощення, а іноді штучне пристосування аналітичних моделей з метою використання добре розробленого математичного апарату для дослідження реальних систем можуть ставити під сумнів результати аналітичного моделювання.

Недоліком складних моделей є громіздкість обчислень. Зокрема, аналітичний розв’язок системи диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів системи масового обслуговування можна знайти лише у

випадку, коли кількість каналів обслуговування не перевищує двох. Складною

для розв’язування у таких випадках є й відповідна система алгебричних рівнянь

для ймовірностей станів граничного стаціонарного режиму. Отже, аналітичні

методи мають самостійне значення лише для дослідження функціонування систем масового обслуговування у першому наближенні і в окремих, специфічних задачах.

На відміну від аналітичного імітаційне моделювання знімає більшість

обмежень, пов’язаних з можливістю відображення в моделях реального процесу функціонування системи, яку досліджують, динамічної взаємної обумовленості поточних і наступних подій, комплексного взаємозв’язку між

параметрами і показниками ефективності системи тощо. Хоч імітаційні моделі

в деяких випадках не такі лаконічні, як аналітичні, проте вони можуть бути як

завгодно близькими до системи, яку моделюють, і простими у використанні. Це

дає змогу застосовувати імітаційне моделювання як універсальний підхід для

прийняття рішень в умовах невизначеності, враховуючи в моделях навіть ті

чинники, які важко формалізувати, а також використовувати головні принципи

системного підходу для розв’язування практичних задач.

Імітаційні моделі описують об’єкт дослідження деякою мовою, імітуючи

елементарні явища, з яких складається функціонування системи, зі збереженням їхньої логічної структури, послідовності протікання у часі, особливостей і складу інформації про стан процесу. Зазначимо про наявність

аналогії між дослідженням процесів методом імітаційного моделювання та їхнім експериментальним дослідженням.

1 Моделювання випадкових подій та дискретних величин

1.1 Розподіл ймовірностей

В математиці та статистиці розпо́діл ймові́рностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.

Розподіл імовірностей є окремим випадком загальнішого означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова. Група несумісних подій.

Нехай є група несумісних подій A1, A2, …, Ak, настання яких необхідно дослідити. p1 = P(A1), p2 = P(A2), p3 = P(A3), …, pk = P(Ak). Припустимо, що p0 = 0. На відрізку [0, 1] числової осі відкладемо значення цих імовірностей.

Ця модель часто використовується в теорії прийняття рішень і добре відтворює процеси вибору однієї з багатьох альтернатив у комп’ютерних іграх, розгалуження потоків інформації у вузлах мережі в кількох напрямках, вибір одного з багатьох пристроїв для обслуговування в СМО.

Умовна подія А – це подія, яка відбувається з імовірністю Р(А/В) тільки за умови, що настала подія В. У цьому разі має бути задана ймовірність Р(В) настання події В. Моделювання настання умовної події А провадиться таким чином. Спочатку випадкове число ri, отримане від генератора випадкових чисел, використовується для моделювання настання події В. Подія В настає в тому випадку, якщо справджується нерівність r1 ≤ Р(В). Настання події А моделюється за допомогою числа r2. Для цього перевіряється умова r2 ≤ Р(А), за виконання якої приймається рішення, що подія А відбулася. Якщо ж подія В не відбулася, то настання події А моделювати не потрібно. Таким чином, можна скоротити загальну кількість випробувань.

1.2 Випадкова дискретна величина

Одне з основних понять теорії ймовірностей – дискретна випадкова величина Х, яка набуває конкретних значень xi з імовірністю pi. Ці випадкові величина називають цілочисловими. Якщо можливі значення випадкової величини становлять скінченну послідовність, то розподіл імовірностей випадкової величини визначають, задаючи значення x1, x2, …, xn і відповідних їм імовірностей p1, p2, …, pn. Моделювання випадкової дискретної величини виконується аналогічно моделюванню групи несумісних подій, тобто випадкову величину Х подають як повну групу подій: A1=(X=x1 ),A2=(X=x2 ), …,An=(X=xn ).

Для моделювання дискретної випадкової величини Х зручно використовувати дискретну кумулятивну функцію. Для цього аналізують можливі значення випадкової величини Х і будують гістограму розподілу можливих значень.

1.3 Геометричний розподіл

Для моделювання випадкової величини Х з геометричним розподілом необхідно задати таблицю її значень та їх ймовірність.

Прикладом випадкової величини з таким розподілом може бути загальна кількість випробувань, які потрібно провести до першого успішного випробування, наприклад кількість пострілів, які потрібно виконати до першого влучення в ціль.

Загалом ймовірність того, що випадкова величина приймає значення k, визначається за формулою pk=p(1- p)k, k=0, 1, …, n. Для отримання значення випадкової величини з геометричним розподілом використовують таку формулу: