3.6.2 Перевод правильных дробей

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления X с основанием d₁ в систему счисления Y с основанием d₂, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание d₂ системы счисления Y. Правильная дробь числа в системе счисления Y с основанием d₂ формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Процесс перевода можно закончить, если появиться дробная часть, имеющая во всех разрядах нули или будет достигнута заданная точность перевода, т.е. получено требуемое количество разрядов результата.

Пример 5. Десятичную дробь 0,3126 перевести в двоич­ную систему счисления с точностью до 2^-4.

Следовательно, искомое число запишется в виде: 0,3126₁₀ = 0,0101₂, а возможная наибольшая ошибка будет 2^-4.

Проверку произведем переводом полученного двоичного числа в десятичное, используя выражение (1.1):

0,0101₂ = 02^-1 +12^-2 + 02^-3 + 12^-4 = 1/4+ 1/16 = 5/16 = (0,3125)₁₀.

П ример 6. Десятичную дробь 0,6 перевести в восьмеричную систему счисления с точностью 8^-5.

При переводе ограничиваемся пятью разрядами. Тогда искомое число запишется в виде: 0,6₁₀ = 0,46314₈, а возможная наибольшая ошибка будет ( 8^-5).

3.6.3 Перевод смешанных чисел

При переводе смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходимо в новую систему перевести отдельно его целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба полученных результата объединить в одно смешанное число новой, системы счисления.

Пример 7. Перевести десятичное смешанное число 159,75 в двоичную систему счисления с точностью 2^-3.

159₁₀ = 10011111₂;

0,75₁₀ = 0,11₂, следовательно,

159,75₁₀ = 10011111,11₂

3.7 Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную и обратно с помощью степенной таблицы

24	23	22	21	20	2-1	2-2
16	8	4	2	1 ,	1/2	1 /4
1 2710 =	0	1	0	1	1	0
1	1	0	1	1

4 Арифметические действия над двоичными числами

Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами весьма просты (табл. 3):

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1	0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1

Над многоразрядными числами операции производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Однако в двоичной системе счисления арифметические действия гораздо проще.

4.1 Сложение двоичных чисел

Сложение двоичных чисел выполняется столбиком, начиная с младшего разряда. При сложении трех и более двоичных чисел необходимо внимательно следить за образующимися при сложении переносами в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удаленные.

Пример 1. Сложить числа 14,5₁₀ , 11₁₀ и 5,75₁₀ в двоичной системе счисления.

Сложение
Десятичное	Двоичное
14,5 + 11,0 5,75  31,25	1110,1 + 1011,0 Переведем результат в 10-ю систему, используя степенную таблицу (п. 3.7) 101,11   11111,01

Пример 2. Сложить двоичные числа: 101110,1 и 11001,01.