Арифметические основы вт (к.А. Нешумова эвм и системы, 1989)
1 Общие сведения о системах счисления
Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способов изображения чисел цифрами системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. В ЭВМ применяются позиционные системы счисления. Непозиционные системы счисления в ВТ не используются из-за своей громоздкости и сложности правил образования.
Непозиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Так, например, в римской системе счисления число XXX содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.
Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Примером может служить обычная десятичная система счисления. Например, число 373, представленное в десятичной системе счисления, имеет в младшем и самом старшем разрядах цифру 3. Цифра 3 в старшем разряде имеет вес в 100 раз больше, чем в младшем разряде.
Количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления d. Цифры принимают значения от 0 до d-1.Для десятичной системы счисления d = 10 и цифры принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В общем случае в позиционной системе счисления с основанием d любое число X, может быть представлено в виде полинома от основания d:
(1.1)
где в качестве коэффициента ai могут стоять любые из d цифр.
Принято представлять числа в виде последовательности соответствующих (1.1) цифр:
(1.2)
Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называются разрядами.
Примеры записи чисел в виде полинома:
Использование в ЭВМ позиционных систем счисления позволяет значительно упростить изображение чисел и операции с ними.
2 Позиционные системы счисления, применяемые в эвм
От выбора системы счисления при проектировании ЭВМ зависят такие ее характеристики, как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.
В ЭВМ применяют ПСС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и некоторые др.
Таблица 1. Системы счисления с основанием d
-
Основание системы счисления d
10
2
8
16
5
Правила заполнения таблицы:
1 Основание СС в колонке кодируется цифрами 10.
2 Остальные значения в колонках заполняются цифрами от 0 до d – 1.
0
00000
0
0
0
1
00001
1
1
1
2
00010
2
2
2
3
00011
3
3
3
4
00100
4
4
4
5
00101
5
5
10
6
00110
6
6
11
7
00111
7
7
12
8
01000
10
8
13
9
01001
11
9
14
10
01010
12
A
2
С точки зрения технической реализации наилучшей является двоичная система счисления, так как для построения ЭВМ нашли широкое применение двухпозиционные элементы.
011
01011
13
B
21
12
01100
14
C
13
01101
15
D
14
01110
16
E
15
01111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11