Безье – Бернштейн
Особенности построения сплайна
Определяется четырьмя точками
Определяются производные
;
;
В общем виде
;
;
или иначе
Окончательно имеем
Графики весовых (базисных) функций
Заметим, что функции симметричны. В 1912 году Берштейн вывел полиномы, а Безье их модифицировал.
,
i = 0…n, n – количество точек, i – номер текущей точки
Недостатки:
Глобальная корректировка
Степень полинома определяется количеством точек
Аппарат Безье применяется для поверхностей класса А – скульптурные, поверхности автомобилей.
Свойства кривых Безье
Кривые Безье любой степени обладают следующими важными свойствами:
Начальная и конечная контрольные точки лежат на кривой.
Кривая на всем протяжении непрерывна, у нее отсутствуют разрывы. Это важнейшее свойство, без которого кривая Безье вообще бы не рассматривалась.
Касательные к кривой в начальной и конечной контрольных точках являются отрезками, соединяющими их с другими двумя соседними контрольными точками, через которые в общем случае кривая не проходит.
Точки на краях касательных будут располагаться на кривой только в том случае, если последняя представляет собой прямую линию.
Поскольку кривая Безье представляет собой взвешенное усреднение всех ее контрольных точек с положительными весами, а сумма их равна единице, кривая всегда располагается внутри выпуклого многоугольника из ее контрольных точек.
Кривая в выпуклом многоугольнике
Кривую Безье можно рассматривать как пошаговое уточнение формы многоугольника, получаемого последовательным соединением ее контрольных точек. При этом кривая Безье начинается и заканчивается в конечных точках данного многоугольника, а форма определяется относительным расположением оставшихся точек, через которые в общем случае она не проходит.
Исходя из этого можно представить канонический вид кривой Безье, который обычно используется в графических редакторах плоской графики.
Профиль лопатки по методу В. Е. Михальцева - графический метод построения кривой Безье-Бернштейна.
Канонический вид кривой Безье
Рассмотрим канонический вид кривой Безье и попытаемся понять, как из одной-единственной кривой получается бесконечно большое многообразие форм, которые используются в векторной компьютерной графике. Общий вид кривой Безье имеет вот такую конструкцию.
Канонический вид кривой Безье
Причем, это уже не математическое описание, а сугубо прикладное отображение, именно то, которое знакомо всем пользователям векторных программ.
Для построения этой кривой требуются четыре контрольные точки. Но кривая физически проходит только через две из них, они получили название опорных. Одна из точек называется начальной (start point), а другая — конечной (end point). Две точки остаются в стороне, они получили название управляющих (control point).
И для того чтобы их не "потерять" (особенно когда в документе кривых насчитываются многие десятки и сотни), в программах векторной графики, да и в любых других программах, управляющие точки соединяются с опорными точками какой-нибудь линией. Иногда пунктирной, иногда тонкой сплошной.
В – сплайны (basis spline, базовые сплайны)
Цель создания - локальная корректировка. В – сплайн записывается в виде
,
где:
,
Рассмотрим 4 точки со сплайнами второго порядка, т.е. линейными
Для векторов
и
имеем:
1. Граничные условия: при u
= 0
;
при u = 1
;
или
2. Граничные условия: при u
= 1
;
при u = 2
;
или
3. Граничные условия: при u
= 1
;
при u = 2
;
или
4. Граничные условия: при u
= 2
;
при u = 3
;
или
Складываем, собирая все в виде (1)
В общем случае В – сплайны определяются по рекуррентным формулам Кокса – Де Бура (Ризенфелд).
Графическое представление для n=0…4
k=1
k=2
k=3
xi – элементы узлового вектора, удовлетворяющего соотношению xi xi+1
Отсюда видно, что с каждой вершиной (
)
связана только своя базисная (весовая)
функция.