Нелинейность

Дискретный аналог представляет собой линейное алгебраическое уравнение, и мы будем решать систему таких уравнений. Однако даже в теории теплопроводности часто встречаются нелинейные задачи. Коэффициент теплопроводности  может зависеть от Т или источник S может быть нелинейной функцией Т. Следовательно, сами коэффициенты дискретного аналога будут зависеть от Т. В таких случаях будем использовать итерации. Этот процесс включает следующие этапы.

1. Выбор начального приближения или оценка значений Т во всех узловых точках.

2. Расчет предварительных значений коэффициентов в дискретном аналоге на основе начального профиля Т.

3. Решение номинально линейной системы алгебраических уравнений, дающее новые значения Т.

4. Возврат ко 2 этапу и повторение процесса до тех пор, пока дальнейшие приближения (итерации) перестанут давать сколько-нибудь существенные изменения в значениях Т.

Однако возможно, что последовательные итерации не всегда будут сходиться к решению. Значения Т могут устойчиво изменяться или колебаться со все увеличивающейся амплитудой. Такой процесс называется расходимостью. Хорошие численные методы должны уменьшать возможность расходимости. Как будет показано ниже, соблюдение сформулированных выше четырех основных правил ускоряет сходимость. На данном этапе достаточно отметить, что наш метод не ограничивается линейными задачами и любая нелинейность может быть в принципе устранена с помощью правильно построенного итерационного метода.

Линеаризация источникового члена

В том случае, когда источниковый член S зависит от Т, можно выразить эту зависимость в линейной форме с помощью уравнения . Это делается по той причине, что, во-первых, номинально линейная система допускает только формально линейную зависимость, и, во-вторых, введение линейной зависимости лучше, чем предположение о постоянстве S.

Если S является нелинейной функцией Т, то функцию надо линеаризовать, т.е. определить значения S_C и S_P, которые сами могут зависеть от Т. В процессе каждого итерационного цикла S_C и S_P пересчитывают с учетом новых значений Т.

Линеаризующая зависимость для S должна быть хорошим представлением зависимости S от T. В дальнейшем будем следовать основному правилу относительно неположительности S_P.

Существует много различных способов разложения заданного выражения для S на S_C и S_PT_P. Некоторые из них проиллюстрированы ниже. Символ _* используется для обозначения начального значения или значения Т_Р на нулевой итерации.

Пример. Дано: . Некоторые возможные линеаризации этой функции (5) показаны на рисунке. 1. , . Такое приближение (1) для тех, кто не в состоянии воспользоваться преимуществами известной зависимости S от Т. 2. , . Это разложение (2) выглядит как корректная линеаризация, но заданная зависимость S от Т более крутая, чем та, которую дает приближение.

3. Рекомендуемый способ найти касательную к кривой, т.е.:

Таким образом , . Такая линеаризация (3) дает касательную к кривой S от Т в точке .

4. , . Эта линеаризация (4), дающая более крутую зависимость, чем заданная зависимость S от Т, приведет к замедлению сходимости.

На схеме, представленной на рисунке, прямые линии с положительным тангенсом угла наклона будут нарушать правило 3. Среди прямых с отрицательным тангенсом угла наклона линия, касательная к заданной кривой, является лучшим вариантом. Более крутые линии можно использовать, но это обычно приводит к более медленной сходимости. Менее крутые линии неудобны, так как они не обеспечивают заданной скорости уменьшения S в зависимости от Т.