Правило 3. Отрицательность коэффициента при линеаризации источникового члена

Из определений коэффициентов (5.2) видно, что коэффициент а_Р может стать отрицательным за счет S_P. Этого можно полностью избежать, потребовав, чтобы S_P. не был положительным. Сформулируем теперь правило 3 в следующем виде: при линеаризации источникового члена в виде коэффициент S всегда должен быть отрицателен или равен нулю.

Правило 3 не настолько произвольно, как оно звучит. На самом деле для большинства физических процессов угол наклона касательной к кривой, описывающей источниковый член как функцию зависимой переменной, отрицателен. Действительно, если бы S_P был положительным, физический процесс мог бы стать неустойчивым. Положительность S_P свидетельствует о росте источникового члена при увеличении Т_Р, а это, в свою очередь, может привести, если нет эффективного механизма отвода теплоты, к возрастанию Т_Р и т. д. С вычислительной точки зрения во избежание неустойчивостей и физически нереальных решений целесообразно сохранять S_P отрицательным.

Правило 4. Сумма соседних коэффициентов

Часто в рассматриваемое уравнение входят только производные зависимой переменной. При этом функции T и Т + с (T —зависимая переменная данного уравнения, с — произвольная постоянная) удовлетворяют дифференциальному уравнению. Это свойство дифференциального-уравнения также должно отразиться в его дискретном аналоге. Следовательно, уравнение (5.3) должно быть удовлетворено и в случае, если Т_Р и все Т_nb увеличить на постоянную. Из этого требования следует равенство а_Р сумме соседних коэффициентов. Таким образом, правило 4 можно сформулировать в виде: для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется также при добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы

Можно взглянуть на правило 4 с другой стороны: при отсутствии источника и равенстве температур в соседних точках температура в центре Т_Р должна иметь такое же значение. В этих условиях только плохая аппроксимация не дает Т_Р = Т_nb.

2. Сетка, теплопроводность граней контрольного объема, нелинейность, линеаризация источникового члена Сетка

Для узловых точек нет необходимости, чтобы отрезки и были равны. Действительно, использование неравномерной сетки часто желательно, так как позволяет эффективно загружать РС. Точные решения будут получаться только в случае достаточно мелкой сетки. Однако нет необходимости применять сетку с малым шагом в областях, где зависимая переменная Т изменяется достаточно медленно с изменением х, а мелкая сетка необходима там, где зависимость Т от х является крутой.

Распространенным является мнение, что неравномерные сетки приводят к потере точности по сравнению с равномерными. Для такого утверждения нет достаточных оснований. Сетка должна быть непосредственно связана с характером изменения зависимой переменной в расчетной области. Кроме того, нет общих правил, согласно которым максимальное (или минимальное) соотношение соседних сеточных интервалов должно быть одним и тем же.

Распределение Т от х неизвестно до решения задачи, поэтому возникает вопрос, как можно построить соответствующую неравномерную сетку?

Во первых, как правило, имеются некоторые качественные соображения о поведении решения, из которых могут быть получены некоторые указания.

Во-вторых, предварительные решения на сетках с крупным шагом можно использовать для определения характера зависимости Т от х.

Анализ решения, полученного на грубой сетке, не будет полезен, если метод дает приемлемые решения только на сетках с мелким шагом. Число узловых точек, необходимое для требуемой точности и выбранного метода, должно распределяться в расчетной области в соответствии с природой решаемой задачи.