1. Правила построения дискретных аналогов Аппроксимация источникового члена

Прежде чем перейти к определению основных правил, рассмотрим источниковый член S уравнения стационарной задачи теплопроводности. Часто источниковый член является функцией самой зависимой переменной Т и тогда желательно учесть эту зависимость при построении дискретного аналога. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость, так как решение дискретных уравнений будет осуществляться, как увидим позже, с помощью методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Способ линеаризации зависимости S от Т обсуждается далее. Здесь нам достаточно записать среднее значение S в виде

,

где представляет собой постоянную составляющую S, a — коэффициент (очевидно, что не есть значение S в точке Р).

Наличие в выражении отражает тот факт, что при записи среднего значения мы предполагали, что значение распространяется на весь контрольный объем, другими словами, использовался ступенчатый профиль (следует заметить, что можно использовать ступенчатый профиль для S и кусочно-линейный для члена dT/dx).

Дискретный аналог уравнения теплопроводности с линеаризованным источниковым членом будет иметь такой же вид (5.1), но с другими выражениями для коэффициентов

(5.1)

где , , , (5.2)

Теперь можно сформулировать основные правела, которым должны подчиняться дискретные аналоги уравнений для обеспечения физичности решения н сохранения полного баланса.

Правило 1. Соответствие потоков на границах контрольного объема

Выражение потока через границу, общую для двух прилегающих контрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объемов должно быть одним и тем же.

Очевидно, что тепловой поток, покидающий один контрольный объем через его границу, должен быть равен потоку, входящему через эту границу в соседний контрольный объем. В противном случае не будет сохраняться полный баланс теплоты. Хотя это требование и легко понять, надо следить, чтобы не было даже небольших его нарушений.

К несоответствию потоков может привести также предположение о том, что все потоки на границах данного контрольного объема описываются с помощью значения коэффициента теплопроводности в центральной точке . Тогда тепловой поток на границе е (показанной на рисунке) будет выражен через для окружающего точку Р контрольного объема и через при записи разностного аналога для контрольного объема с точкой Е в центре. Чтобы избежать таких несоответствий, полезно помнить, что поток на границе рассматривается сам по себе, а не как принадлежащий определенному контрольному объему.

Правило 2. Положительность коэффициентов

В большинстве из интересующих нас задач влияние значений зависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на значение в этой узловой точке обусловлено процессами конвекции и диффузии. Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке. Тогда, как видно из уравнения (5.1), из увеличения Т_Р при увеличении Т_Е следует, что коэффициенты а_Е и а_Р должны иметь одинаковый знак.

, (5.3)

где индекс nb (nearby - близлежащий, соседний) обозначает соседние точки.

Другими словами, в общем случае, описываемом уравнением (5.3), знаки коэффициентов перед значениями зависимой переменной в соседних точках и коэффициента перед ее значением в центральной точке а_Р должны быть одинаковыми. Можно, конечно, выбрать их так, чтобы они все были положительными или отрицательными. Принято решение записывать разностный аналог с положительными коэффициентами. Тогда правило 2 можно сформулировать следующим образом: все коэффициенты (а_Р и ) всегда должны быть положительными.

Однако, как будет показано позднее, имеются многочисленные аппроксимации, в которых данное правило часто нарушается. Обычно следствием этого является физически неправдоподобное решение. Наличие отрицательного «соседнего» коэффициента может привести к ситуации, в которой увеличение температуры на границе вызывает уменьшение температуры в ближайшей узловой точке. Нас будут устраивать только те аппроксимации, которые при всех обстоятельствах гарантируют положительность коэффициентов.