Анализ искусственной диффузии

Рассмотрим, что должна описывать схемная искусственная диффузия. Во-первых, необходимо узнать, представляет ли собой искусственная диффузия многомерное явление - этого явления нет в случаях установившихся одномерных задач.

Для того чтобы наглядно представить, что означает схемная искусственная диффузия, рассмотрим случай, показанный на рис. 5.12. Два параллельных потока с равной скоростью, но не равными температурами соприкасаются друг с другом.

а) б)

Рис 5.12. Распределение температуры при наличии (а) и отсутствии (б) диффузии: 1 ‑ горячий поток;   2 ‑  холодный поток

Если диффузионный коэффициент Г0, то будет образовываться слой смешения, в котором температура постепенно изменяется от большего значения к меньшему и ширина этого слоя в поперечном направлении будет увеличиваться вниз по потоку. Если Г=0, то слой смешения не образуется, и будет иметь место скачок температуры в поперечном направлении.

Для анализа понятия схемной искусственной диффузии рассмотрим случай, в котором реальная диффузия считается равной нулю. Если численное решение при Г=0 дает размытые профили температуры (характерные для Г0), можно сделать вывод, что численная схема вызывает появление схемной искусственной диффузии.

Для Г=0 центрально-разностная схема приведет к a_P =0. Поэтому обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений использовать нельзя. Если попытаться получить решение уравнения прямым методом, то либо единственное решение не будет найдено, либо решения окажутся нереальными.

Смысл схемы с разностями против потока.

Попытаемся решить задачу, показанную на рис. 5.12,б с помощью схемы с разностями против потока для двух ориентации разностной сетки.

1. Однородный поток в направлении оси x. Рассмотрим случай, показанный на рис. 5.13. Поток направлен строго вдоль оси x, и левая граница имеет известный температурный профиль со скачком.

Поскольку Г=0 и в направлении оси y течение отсутствует, коэффициенты a_N и a_S будут равны нулю. Коэффициент a_E в близлежащей вниз по потоку соседней точке также должен быть равен нулю. Таким образом, a_P должно равняться a_W, что приведет к

Ф_P=Ф_W

Рис 5.13. Случай потока, направленного вдоль оси x: 1 ‑ горячий поток;   2 ‑  холодный поток

В результате данные значения вверх по потоку будут устанавливаться во всех точках вдоль каждой горизонтальной линии. Следовательно, скачкообразный характер профиля температуры, имеющий место в сечениях вверх по потоку, будет сохранен. Поэтому в этом случае искусственная диффузия не появляется.

2. Равномерный поток, направленный под углом 45° к узловым линиям сетки. Для удобства используем равномерную сетку с x=y. Скорости потока в направлениях осей x и y равны. Результатом этого является равенство коэффициентов a_W и a_S в соседних близлежащих точках вверх по потоку, в то время как значения a_E и a_N в точках вниз по потоку оказываются равными нулю. Таким образом, имеем

Для сетки, показанной на рис. 5.14, разрыв профиля температуры обеспечивается равенством всех температур 100 вдоль левой и 0 вдоль нижней границ. Результат решения во внутренних точках записан около каждой узловой точки. Если схемная искусственная диффузия отсутствует, то сверху от диагонали, направленной из нижнего левого угла, должны получиться значения 100 и значения 0 вниз от диагонали. Фактическое решение дает неточный профиль температуры, подобный тому, какой изображен на рис. 5.12, а.

Замечания.

1. Искусственная диффузия сказывается когда поток наклонен по отношению к линии сетки и существует ненулевой градиент зависимой переменной в направлении нормали к потоку.

Рис 5.14 Случай потока, направленного под углом 45° к сеточным линиям: